北京小学数学：四年级学习思维训练的重要性

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 首先，在讨论四年级进行思维训练的重要性之前，我们先一起了解一下四年级的孩子相比之前，发生了哪些变化，具备了什么特点。

一、四年级学生的特点

 四年级的孩子正处于向青少年过渡的儿童期后期阶段，大脑发育正好处在内部结构和功能迅速发展和完善的关键期，孩子的学习能力和情感能力快速发展，是培养学习能力和情感能力的重要时期。四年级还是养成良好的学习习惯和改变不良习惯的最后关键时机。在四年级以后，除非进行特殊的训练，孩子的学习习惯将很难改变。四年级孩子的意志发展开始从他律向自律过渡，开始具有自觉克服困难的意志，所以四年级是培养孩子学习恒心的关键期。随着孩子交往范围的扩展和认识能力的发展，四年级的孩子开始对很多事情形成自己的想法，但是他们辨别是非的能力还极其有限，社会交往缺乏经验，经常会遇到许多自己难以明白的问题，开始产生很多不安和忧虑，需要家长和老师正确的引导。

 四年级是小学低年级向高年级的过渡期，孩子开始从被动的学习主体，向主动的学习主体改变，四年级是孩子形成内部学习动机的开端，孩子自身心里和能力的发展都会表现出比较明显的学习分化现象，有一些孩子甚至开始出现学习偏科的端倪。

 四年级孩子的年龄一般是9-11岁，处于儿童期的后期阶段。大脑发育正好处于内部结构和功能完善的关键期，是培养孩子学习能力、情绪能力、意志能力和学习习惯的最佳时期。研究表明，10岁孩子左右大脑前额皮层发育完善，孩子的天性开始消退；相反，大脑的抑制能力加强，儿童对于自己的行为和情绪变化变得更有意识，第二信号系统的语言和文字反应增强，思维能力的发展处在转折时期，抽象概括、分类、比较和推理能力开始形成；思维的敏捷性和灵活性提高，做题的速度和正确性提高，一题多解的数量增加。培养思维的独立性和发散性在四年级尤为关键，而独立性和发展性是创造性思维的必要条件。儿童开始有自己独立的见解，独立意识开始增强。

 四年级是培养孩子学习能力的关键期。学习能力是后天形成的，随着经验和知识的积累不断提高，注意力、记忆力、理解能力、思维能力和表达能力等学习能力不断增强。随着大脑发育的成熟，思维发展水平由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，抽象思维逐渐成为一种重要的的思维形式，这是一个由量变到质变的飞越过程。四年级孩子注意力的目的性更强，注意力保持的时间更持久，注意力的稳定性由15-20分钟提高到20-30分钟，可以胜任更复杂的学习任务。这一时期孩子的记忆力、理解能力、思维能力和表达能力快速发展，是培养孩子写作和阅读能力的关键时期。孩子的逻辑和抽象思维能力开始增强，归类、对比和推理等能力开始增强，对学习能力的培养将会起到事半功倍的作用。

 从小学四年级到高中三年级，随着学生年龄的增长，其学习习惯的得分并不增加。养成良好学习习惯的关键期是在小学中低年级，由于低年级以前形成的学习习惯具有不确定性和易变性。四年级孩子的学习动机从直接动机向间接动机开始转化，即使没有直接的奖励，为了得到老师、同学、家长和其他人的肯定性评价，他们也会努力达到较好的学习效果。孩子成功的关键在于综合素质的发展。那些最成功的人士绝大多数在学校并不是学业成绩最优秀的学生，成功的关键是素质。年轻有为的关键因素是良好的情绪能力、独特的个性、良好的智力、良好的社会交往能力、正确的道德观念和较高的审美能力。孩子的成功取决于良好的和全面的素质。
综上所述，总结一下，四年级的如下特点：

1、正处于向青少年过渡的儿童期后期阶段，从他律向自律过渡，开始具有自觉克服困难的意志，四年级是培养孩子学习恒心的关键期。

2、四年级是小学低年级向高年级的过渡期，开始从被动的学习主体，向主动的学习主体改变，四年级是孩子形成内部学习动机的开端。

3、思维发展水平由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，抽象思维逐渐成为一种重要的的思维形式。四年级是培养孩子学习能力的关键期。

4、孩子注意力的目的性更强，注意力保持的时间更持久，注意力的稳定性由15-20分钟提高到20-30分钟，可以胜任更复杂的学习任务。

5、低年级以前形成的学习习惯具有不确定性和易变性。四年级孩子的学习动机从直接动机向间接动机开始转化，即使没有直接的奖励，为了得到老师、同学、家长和其他人的肯定性评价，他们也会努力达到较好的学习效果。所以，四年级是养成良好学习习惯的关键期。

二、说说数学教学体系现状

 从小学一年级到高中三年级，进行十二年系统学习的学科包括语文、数学、英语这三个

学科。在长达十多年的数学学习过程中，最开始的几年才是最关键的部分。虽然在时间长度上只占大约三分之一，但所起的作用却至少占了八成，是名副其实的“黄金期”。

 数学相对于其他学科的独特之处，不仅在于她的思想方法丰富得多，而且她的思想方法并非附着在知识体系之上，而是承托着知识体系。换句话说，思想方法是数学的学科核心。遗憾的是，由于很多主观和客观因素的影响，我们的教学体系始终没有重视这个核心。

 课堂教学被“有形”数学占满，几乎没有“无形”数学的立锥之地，这个现实直接导致了刷题和套公式的盛行。一方面，老师没有能力把“无形”的数学传授给学生；另一方面，老师又要努力教会学生解题。一个不难想到的办法，就是总结出各种形式套路，让学生依葫芦画瓢地模仿。然而，由于学生并没有真正理解隐藏在套路背后的本质，在解题时就可能会用错套路，或者在生搬硬套的过程中出现各种丢三落四的问题。于是，为了提高使用套路的正确率，就需要再打补丁——大量刷题。

 由于家长群体对数学的学科特点和数学教育的认知不足，因而在引导孩子的数学学习上犯了不少错误，而且面对课外辅导课程的时候，陷阱踩了一个又一个，花了很多冤枉钱不说，最可怜的还是孩子，尽管付出了大量的时间精力，不会做的题目却越来越多，学好数学的希望也逐渐转变为失望，然后是绝望。

 关于数学学习的一个很普遍的认识错误，是不重视小学中低年级的学习。家长犯这样的错误也是很可以理解的，因为站在成年人的角度来看，这个阶段的学习内容大多数是基本的常识，比如数数和简单的四则运算。何况，就难度而言自然是后续的学习内容更大。少数鸡血型的家长从幼儿园甚至更早的时候就开始张罗着送孩子去学数学，也并非说明他们重视早期的学习。他们只不过是想让孩子“赢在起跑线上”，在学习进度上领先于其他孩子。事实上，这种“抢跑”式的安排往往用更短的时间来完成早期“简单的学习内容”，因而更容易忽略掉一些重要的训练。

 在长达十多年的数学学习过程中，最开始的几年才是最关键的部分。虽然在时间长度上只占大约三分之一，但所起的作用却至少占了八成，是名副其实的“黄金期”。只要在这个阶段做好了该做的事情，做对了该做的事情，后面就不存在实质性的困难——当然，适量的时间精力投入还是必要的。反之，就会像大多数人对数学的感觉那样——越学越难，越学越没信心，越学越找不到方向。时间投入不断增加，成绩却不断下滑。

 对大多数人来说，数学是一个神秘的学科，因而也就不了解她的一个独特之处——丰富的思想方法。表面上看，包括数学在内的不同学科，各自有自己的知识体系和思想方法。然而，其他学科的思想方法是附着在知识体系之上的。尽管掌握这些思想方法确实有助于更透彻地理解知识体系，但无视这些思想方法也只是减损我们对知识体系的理解深度，而不影响我们了解知识体系。特别是考虑到国内的考试更多地关注学生对知识的了解而不是理解，所以很多学生仍然可以通过花费更多的时间死记硬背来获取高分。

 数学相对于其他学科的独特之处，不仅在于她的思想方法丰富得多，而且她的思想方法并非附着在知识体系之上，而是承托着知识体系。换句话说，思想方法是数学的学科核心。遗憾的是，由于很多主观和客观因素的影响，我们的教学体系始终没有重视这个核心。学生们从头到尾都只是在依葫芦画瓢地模仿老师总结的解题过程，以及努力了解尽可能多的技巧。大多数人从未尝试理解这些解题过程，也说不清楚为什么这道题适合用这个技巧，那道题就要用另一个技巧，而只是在解题时近乎盲目地做一些尝试，希望能幸运地尽快碰上一个正确的技巧。于是，解题就成了一个“瞎猫撞上死耗子”游戏，而难度越高的题目就像在越大的范围内去撞一只死耗子。

 数学是一个很古老的学科，她的内容源于现实世界，同时又具有符号化和抽象化的特征，两者自然地融合统一在这个学科中。然而，它们在教学中却很容易被对立起来。数学的有形之处是各种数学符号、运算、公式和定理，这也是课堂教学的学习内容。数学的无形之处是对现实世界的观察、思考和总结，它们看不见摸不着，只能用意识去理解，而且“言传”的难度还更高于“意会”。因此，大多数老师只有教“有形”数学的能力，因而学生学的也就只能是缺胳膊断腿的数学，这是导致数学学习困难的一个重要根源。

 课堂教学被“有形”数学占满，几乎没有“无形”数学的立锥之地，这个现实直接导致了刷题和套公式的盛行。一方面，老师没有能力把“无形”的数学传授给学生；另一方面，老师又要努力教会学生解题。一个不难想到的办法，就是总结出各种形式套路，让学生依葫芦画瓢地模仿。在既定的现实前提下，这也不失为一个“聪明”的招数，确实能起一些效果。然而，由于学生并没有真正理解隐藏在套路背后的本质，在解题时就可能会用错套路，或者在生搬硬套的过程中出现各种丢三落四的问题。于是，为了提高使用套路的正确率，就需要再打补丁——大量刷题。

 这种教学方式，就像教孩子弹琴时只练指法技巧，教孩子画画怎样才能画得像。最终孩子确实能弹几首悦耳的曲子，能画出几幅赏心悦目的画，但离懂音乐和绘画还差了老远。唯一的好处是家长满意了。站在家长的角度来说，他们并不在意孩子是不是懂艺术，他们在意的是孩子能拥有一项才艺。同样，他们也并不期望孩子懂数学，而只是希望孩子能在考试中获得一个足够满意的分数。

三、孩子遭遇的困难和困惑

 孩子在进入这个扭曲的教学体系后，遇到的第一个障碍是对最基本的数学概念的认知，例如“自然数”的概念和加减运算。

 教孩子认识自然数的意义，应该使用相应数量的小石头（或其他物品），而不是弯来扭去的数字符号。诸如“3+5”、“12-9”等算式，成年人已经习以为常，不存在理解困难。可是在孩子眼里，它们却是神秘而难以理解的涂鸦。即使他们已经能够把“1”和“2”这两个符号的意义理解清楚，也还需要一段时间才能把“12”这个符号自如且准确地转换为其所表示的数量概念。

 然而在教学实践中，首先是过快地进入符号计算的训练，不少孩子还没能理解好一堆数字符号的意义，就被推入高要求的准确率和速度训练中。紧接着，老师又迫不及待地开始教进位和退位，并且发明了好几个似乎很高明的规则来帮助孩子做计算。于是，孩子们只能痛苦而无奈地把那些数字符号小心翼翼地在纸上搬来搬去，生怕哪一步一不小心就会出错。对计算结果进行验算时，他们也只是把刚才的那些搬运过程重新做一遍。

 遭遇第一个学习障碍时，孩子还处于对数学一无所知的完全空白阶段，称之为数学启蒙阶段。由于所涉及的都是最基本的数学概念和认知，与客观世界和日常生活的联系非常紧密；同时，处在这个年龄阶段的孩子，逻辑和抽象能力还很弱。因此，我们建议在数学启蒙阶段避免使用数字和运算符号进行纸面练习，而应当尽量用实物表示数量，多用口念数字而不是用笔写数字。

 第一个障碍的本质，不是认知的障碍，而是表达的障碍。自然数和加减法，在现实世界中有无数的实例可以感知，所以不存在难以认知的问题。孩子在学习中遭遇的困难，是使用特定的符号和运算规则去表达这些概念。接下来孩子要克服的第二个障碍，比起第一个障碍难度要大得多。而这个障碍，就涉及了很多概念的抽象认知。不妨来看几个具体的例子。 

四、数学学习的黄金期，应该做什么

 在“黄金期”内，我们要做的不是追求学习进度，也不是堆积知识量，而是给孩子铸造一个足够扎实的底子。很少人能理解这个底子的重要性，因为它就像摩天大楼深埋在地下的地基，就像参天大树扎在泥土里的根系，不显山不露水，只有内行才有识别的慧眼。

 我们把“黄金期”内需要做好的事情归纳为三部分。

其一，做好数学启蒙，帮助孩子顺利越过第一个障碍。在此顺便澄清一个问题，即便不采取任何措施，第一个障碍迟早也能过去，日复一日的生活实践就是最好的启蒙。这也是很多人认为数学启蒙可有可无的主要论据。可是，第一个障碍没过去，会严重影响后面的所有学习内容。比如我前面作为例子的几道题目，都是以数量和数量增减的理解为基础的。时间不等人，别说不能等到二三十岁才来学数学，哪怕迟几个月学都不行啊。

其二，选择适当的题目，引导孩子进行基本的逻辑分析和思维拓展训练。题目不求难，而是多关注孩子对解题步骤的理解和分析能力。训练过程遵循由易到难、逐步推进的原则，根据不同孩子的能力设定相应的训练目标。最低目标是逻辑清晰，任何一个推理步骤都要有理有据，不能含混不清。我相信，只要引导方式正确，绝大多数孩子都有能力完成这个目标。至于更进一步提升思维复杂度和逻辑分析能力，在孩子可以接受的训练强度范围内自然是越高越好。中学阶段学习的很多数学概念都有一定的抽象性，仅凭定义的文字描述很难理解其意义。很多中学生感觉数学完全学不进去，其根源都是逻辑分析和推理能力太弱。因此，小学阶段的训练实际上是为中学的数学学习做好必要的准备工作。

其三，在上述训练过程中，让孩子逐步形成主动思考和独立思考的习惯，摆脱背公式记套路的坏影响。为什么公式和套路如此盛行？因为大多数有一定难度但难度不算太大的题目，都可以总结出套路公式，直接用上去就能搞定。总结套路的工作，老师们都非常乐意承担，他们教起来也省心，而学生们省时省力，自然也非常欢迎。至于难度更高的题目，还是可以继续总结套路，只不过能用好套路的学生相对少一些而已，这也在大家的意料之中。

 很多人都听过这样的说法：养成一个好习惯需要三年，养成一个坏习惯只需要三分钟。人性的弱点，决定了坏习惯通常都具有很大的诱惑力。用套路解题看起来效率很高，而且对学生的能力要求也相对低，并且也确实对教学大纲范围内的大多数题目都有效。甚至，大家评价一个老师是否“名师”，也是以总结套路的能力为依据——总结得好，学生用起来就更方便，也不容易出错，还能解出更多的题目。

 得到了这么多好处，大家似乎也不介意接受这种方式的也许是唯一的害处——没有培养学生真实的能力，其结果就是那个我们耳熟能详的词“高分低能”。套路就像毒瘾一样，一旦沾上了就很难戒掉。用惯了套路的学生，很难再有决心和毅力通过自己分析和思考来解题。每当遇到不能用原来的套路解决的题目，他们总是忍不住去寻找新的套路。

 在以上三个部分中，前两者只关乎数学这个科目的学习，而第三部分对孩子的影响是全面而长远的。我想，这也是数学这个科目被放在和语文同等重要的地位的最根本原因。我们可以不要求很多人具备丰富的数学知识，但每个人都应有基本的是非判断能力和正确的逻辑推理能力。

 我们把“黄金期”的结束时间定在小学四年级前后，是基于两个考虑因素。一方面，从三年级开始，数学的学习内容对孩子的抽象理解和认知能力要求就逐步提高了，具体表现为“难题”的数量逐渐增加。如果孩子的相应能力没有跟上学习内容的推进速度，做不到用自己的分析来解题，唯一的选择就是使用套路。另一方面，使用套路会上瘾，用上两三年以后，戒断的难度已经相当大，大多数情况下是越陷越深。事实上，套路的诱惑是一直存在的，即使在早期能够成功抵制住，随着学习难度的不断增大，面对现实压力也随时会“晚节不保”。当然，我们最应该警惕的，还是从一开始就上了套路的瘾，这个危害性是最大的。

 如果未能在“黄金期”内完成必要的能力培养工作，后续的数学学习将越来越被动，孩子所承受的压力也将越来越大。从这个意义上说，“黄金期”的结束时间同时也是一条“生死线”。当然，这条线的具体位置并不绝对，只是一个大致的参考坐标。

 错过了“生死线”的孩子，再要回头来做思维训练是非常困难的。对于简单的题目，他们只愿意使用自认为很方便的套路，却又无法解释清楚解题步骤的确切意义；对于难度稍大的题目，他们又找不到方向，对着题目发呆，即使一步一步地提示引导，整个过程也非常艰难。

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