北京小学北京小学奥数

北京小学奥数：神奇的莫比乌斯带和克莱因瓶

公元1858年，德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790-1868）和约翰·李斯丁发现：把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来所做成的纸带圈，具有魔术般的性质。

普通的纸带都有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带却只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这样的纸带被称为“莫比乌斯带”。

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难易指数：★★★

适宜对象：数学兴趣班

本期编号：D00068

关键词：莫比乌斯带

莫比乌斯带

制作方法

拿一张白色的长纸条，把一面涂成黑色，再把其中一端翻一个身，粘成一个莫比乌斯带。用剪刀沿纸带中央把它剪开。纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸圈。

莫比乌斯圈

新得到的这个较长的纸圈，却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互的套在一起。把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了，得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结而已。

相反，拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，把其中一端360度翻一个身，粘成一个双侧曲面。用剪刀沿纸带中央把它剪开。纸带不仅没有一分为二，反而剪出两个环套环双侧曲面。

莫比乌斯带还有更为奇异的特性。一些在平面上无法解决的问题，却不可思议地在莫比乌斯带上获得了解决。

比如在普通空间无法实现的"手套易位"问题：人左右两手的手套虽然极为相像，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上去；也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套！不过，倘若你把它搬到莫比乌斯带上来，那么解决起来就易如反掌了。

在自然界有许多物体也类似于手套那样，它们本身具备完全相像的对称部分，但一个是左手系的，另一个是右手系的，它们之间有着极大的不同。

拓扑变换

莫比乌斯带是一种拓展图形，它们在图形被拉大、弯曲、缩小或任意的变形下保持不变，只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点，不产生新点。

换句话说，这种变换的条件是：在原来图形的点与变换了图形的点之间存在着一一对应的关系，并且邻近的点还是邻近的点。这样的变换叫做拓扑变换。

拓扑有一个形象说法——橡皮几何学。因为如果图形都是用橡皮做成的，就能把许多图形进行拓扑变换。例如一个橡皮圈能变形成一个圆圈或一个方圈。但是一个橡皮圈不能由拓扑变换成为一个阿拉伯数字8。因为不把圈上的两个点重合在一起，圈就不会变成8，“莫比乌斯带”正好满足了上述要求。

克莱因瓶

1882年，德国著名数学家菲立克斯·克莱因 (Felix Klein) 发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。克莱因瓶的结构可表述为：一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的表面不会终结。它和球面不同，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面，即它没有内外之分。

实际上，可以说克莱因瓶是一个3°的莫比乌斯带。我们知道，在平面上画一个圆，再在圆内放一样东西，假如在二度空间中将它拿出来，就不得不越过圆周。但在三度空间中，很容易不越过圆周就将其拿出来，放到圆外。将物体的轨迹连同原来的圆投影到二度空间中，就是一个“二维克莱因瓶”，即莫比乌斯带（这里的莫比乌斯带是指拓扑意义上的莫比乌斯带）。