北京小学奥数:“鸡兔同笼”，细数一下那些年吃过的鸡，还有兔

“鸡兔同笼”是中国古代的数学名题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

显然，题中有2个元：鸡、兔，用初中“二元一次方程组”来解答，是非常容易的。但此种类型的题，却频繁出现在各种小学奥赛当中，到底是为何？本期谷老师通过讲解“鸡兔同笼”问题的解答方法，来探讨下这类题在教学上的意义。

每天叫醒你的不是闹钟，而是梦想和态度

难易指数：★★★★★

适宜对象：小学培优

本期编号：D00024

《孙子算经》：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

(有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。问笼中各有多少只鸡和兔？)

思路分析：

"百度百科"上总结了"鸡兔同笼"问题求解的基本公式：

(总脚数-总头数×鸡的脚数)÷(兔的脚数-鸡的脚数) = 兔的只数 (鸡兔交换为鸡的只数)

解决"鸡兔同笼"问题的关键是怎么处理"鸡"和"兔"之间的关系，将求解2个元的问题转换为求解一元。很明显，它们之间脚的关系是：

兔比鸡的脚多2个。

解答1（套用公式）

根据上述公式，我们可以得出，兔的数目为：

(94-35×2) ÷ (4-2) = 12(只)

(35×4-94) ÷ (4-2) = 23(只)

好像很简单的样子，那么问题来了，这个公式什么意思？

解答2（假设法）

假设35只动物全是鸡，那么就应该有35×2=70只脚，但实际上有94只脚，比假设的情况少了94-70=24只脚，出现这种情况是因为把兔当成了鸡，因此就会少：“兔的数目×2”只脚，于是有：

兔的数量：24 ÷2 = 12(只)

鸡的数量：35 - 12 = 23(只)

这是不是对上述公式的一种理解呢？

    那么请问，我们假设35只动物全是兔，应该怎么做呢？

解答3（抬脚法）

我们让“可爱的兔子”抬起两只脚，于是，脚的只数为：35 × 2 = 70(只)。对比原来是94只，相差24只，这是由于兔子抬起两只脚导致的，于是：

兔的数量：24 ÷ 2 = 12(只)

鸡的数量：35 - 12 = 23(只)

这是不是对上述公式的另外一种理解呢?

那么，请问让兔子“抬起2只脚”的真正目的是什么呢？

后面还有更精彩的！

解答4（孙子算经：砍足法）

将鸡和兔的脚各自砍掉一半，那么鸡就剩下一只脚，而兔两只脚。脚的数目为原来的一半：94÷2=47只。

此时，鸡的脚数和其头数一样，而兔的脚数则是其头数的一倍，因此，

兔的数量为：47 - 35 = 12(只)

鸡的数量为：35 - 12 = 23(只)

同样，请问“砍足法”的真正目的是什么呢？

解答5（等差数列）

我们知道，兔的脚比鸡的脚多2只，因此，脚的数目的最大值和最小值分别是：

全部为兔，脚最多：35×4 = 140(只)

全部为鸡，脚最少：35×2 = 70(只)

我们从脚的最少数目开始，即：初始情况全部为鸡，逐步减少鸡的数量，同时增加兔的数量。

(35, 0)-->70

(34, 1)-->72

(33, 2)-->74

(…，…)-->?

可以看出，这是以首项为70，公差为2的等差数列，其通项为：

任一项 = 首项 + 公差×(项号-1)

因此，当脚的数目为94，即某一项的值为94时，求其项号。

项号 = (94-70)÷2 + 1 = 13

第13项，兔子的数目为12(只)，因此鸡的数目为23(只)。

解答6（穷举列表法）

根据题意，我们可以采用列表的方法来解答：

精彩还将继续！

解答7（估算法）

从上面“解答5”可知，脚数目的最大值和最小值分别是：

全部为兔，脚最多：35×4 = 140(只)

全部为鸡，脚最少：35×2 = 70(只)

现在脚的数目为94只，我们可以采用如下所示的方法来估算。

假设有一半是兔子，即兔子：35÷2=17.5，取17只，鸡：18只。于是，脚的数目为：

2×18 + 4×17 = 104 > 94

因此，兔子数目介于[0,17]之间。再取，兔子：17÷2 = 8只(取整数),鸡为：27只。于是，脚的数目为：

2×27 + 4×8 = 86 < 94

此时，兔子数目介于[8,17]之间，再次，“对半”，兔子：12只，鸡23只。此时脚的数目恰好为94只。

此方法是不是有点类似于我们之前介绍的“分而治之”算法:

D00012期：最大公约数和“分而治之”算法

向我们伟大的计算机算法研究者致敬吧！

温馨总结

1）假设法是一种解决多元问题的有效方法。

2）计算机算法对某些数学问题的理解很有帮助。

3）课本上的题，就像“真空中的球形鸡”，过于理想化，而真实情况往往是复杂多变的。“鸡兔同笼”恰恰就是这样一种脱离于课本，源于生活的问题。解决这样的问题，有利于锻炼学生的思维。

4）一题多解，能开拓我们的思路，丰富我们的想象力。

同类拓展：

1. 变形一：有钢笔和铅笔共27盒，共计300支。钢笔每盒10支，铅笔每盒12支，则钢笔、铅笔分别有多少盒？

答案：钢笔12盒，铅笔15盒。

2. 变形二：一道试卷共12道题，答对得10分，答错扣5分，最终阿黄得了90分，请问他答对几道题？答错几道题？

答案：答对10道，答错2道。

3.  创新训练：一道试卷共20道题，答对得10分，答错扣20分，不答得0分，最终阿黄得了70分，请问他答对几道题？答错几道题？

答案：答对15道，答错4道。

4. 能力提高：蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，现有这三种动物共有18只，共112条腿，22对翅膀，则蜘蛛、蜻蜓、蝉各有几只？

答案：蜘蛛2只，蜻蜓6只，蝉10只。