北京小学奥数：皮亚诺公理与1+1=2的证明

1+1为什么等于2？这是个古老而深刻却又广受误解的问题。为了证明1+1=2，我们需要引进皮亚诺公理。

皮亚诺公理是意大利皮亚诺所构造的算术公理系统中的公理。1889年，在数学家戴德金工作的基础上，皮亚诺在《用一种新方法陈述的算术原理》一书中提出了一个算术公理系统，这个公理系统有九条公理，其中四条是关于“相等”的，五条是刻画数的，并且以l而不是0作为基本概念。

在后来的著作中，皮亚诺对这一算术系统作了修改，去除了关于“相等”的四条公理，并且以0取代1作为基本概念，构造了沿用至今的皮亚诺算术公理系统。

本期我们一起谈谈皮亚诺公理相关的知识。

每天叫醒你的不是闹钟，而是梦想和态度

难易指数：★★★★

适宜对象：小学培优

本期编号：D00066

关键词：皮亚诺公理、1+1=2

数学术语：

⊆：包含于，∈：属于，∀：任意

皮亚诺公理

关于1+1=2的问题，有人说：它是数学的公理，数学是不需要证明的。又有人说：由于1 + 1 = 2是所有的数学定理的基础，所以它是无法用数学方法来证明的。那么“1 + 1等于2，究竟是为什么?”

(一)定义目的是定义自然数集合，首先需要承认的是集合具有的一些运算性质，例如：a=b时，a、b代表的是同一个元素。皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：

1、0是自然数；

2、每一个确定的自然数a，都具有确定的后继数a' ，a'也是自然数（数a的后继数a'就是紧接在这个数后面的整数“a+1”，例如：1'=2，2'=3等等。）；

可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数，因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由 0, 1 构成的数字系统，其中1的后继为0。这不符合我们对于自然数系统的期望，因为它只包含有限个数。因此，我们要对自然数结构再做一下限制：

3、0不是任何自然数的后继数；

但这里面的漏洞防不胜防，此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0, 1, 2, 3，3其中3的后继是3。

看来，我们设置的公理还不够严密，我们还得再加一条。

4、不同的自然数有不同的后继数，如果自然数b、c的后继数都是自然数a，那么b=c；

最后，为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.3，0.22），同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要，我们加上最后一条公理。

5、设S⊆N，且满足2个条件（i）0∈S；（ii）如果n∈S，那么n'∈S。则S是包含全体自然数的集合，即S=N。(这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的正确性)

注：归纳公理可以用来证明0是唯一不是后继数的自然数，因为令命题为“n=0或n为其它数的后继数”，那么满足归纳公设的条件。

若将只考虑正整数，则公理中的0要换成1，自然数要换成正整数。

（二）加法的定义

我们定义，加法是满足以下两种规则的运算：

Ⅰ、∀m∈N，0 +m =m；

Ⅱ、∀m，n∈N，n' +m = （n +m）'。

有了这两条仅依赖于“后继”关系的加法定义，任意两个自然数相加的结果都能确定出来了。

（三）乘法的定义

乘法是满足以下两种规则的运算：

Ⅰ、∀自然数m，m · 0 = 0 ；

Ⅱ、∀自然数m，n，m · n' = m ·n +m 。

有了这两条仅依赖于“后继”关系的乘法定义，任意两个自然数相乘的结果都能确定出来了。

（四）减法的定义

定义整数为自然数对(a,b)；定义：如果a+d=b+c，则(a,b)=(c,d)；定义整数加法为(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)；定义(a,b)的相反数为(b,a)。

将(a,0)和a等同，则可以证明自然数是整数的一部分，加法的定义是相符的。

这样，在整数上，我们有相反数的概念。整数和它相反数的和是0，0和任意整数的和是其自身。在整数上，定义a-b为a+(-b)。可以验证，这样的定义与通常理解的整数加减法是一致的。

（五）除法的定义

进一步定义有理数为整数对[a,b]，其中b非零。定义[a,b]=[c,d]如果ad=bc。定义有理数乘法为[a,b][c,d]=[ac,bd]，定义[a,b]的倒数为[b,a]，如果a,b非零。将[a,1]和a等同，则可以证明整数是有理数的一部分。

这样，在非零有理数上，我们有倒数的概念。非零有理数和它倒数的积是1，1和任意有理数的积是其自身。在有理数上，定义a/b为a(1/b)，如果b非零。

可以验证，这样的定义与通常理解的有理数乘除法是一致的。

（六）1+1=2的证明

证明：1 + 1
　　= 0’ + 1 （根据自然数的公理）
　　= (0 + 1)’（根据加法定义Ⅱ）
　　= 1’ （根据加法定义Ⅰ）
　　= 2 （根据自然数的公理）

（七）1+1=2的意义

1+1=2，作为一个问题，我们并没有要求是数学证明的事实，只是说明1+1 =2，为什么就可以了，可以说，这是定义，可以说，这是公理。

但你仍然可以用反证法证明：假设1+1不等于2，那么数学是稀粥，所有的地方都在数学米粥中使用，人类社会将是乱了套，所以1+1一定等于2。

1+1=2看似简单，但对于人类认识世界有着非同寻常的意义。人类认识世界的过程就像滚雪球的进程：

第一，孩子必须先用双手拿着一把雪，这捧雪就等于世界的人的看法。

第二步骤中，孩子把他的手握紧雪，成为一个小雪球，小雪球相当于人类感知的处理，形成了一个概念。

所以会出现的第三步，在雪球的地板上的儿童，雪球可以找到在地面上，这是相当于人的理性知识粘雪。雪可粘雪，相当于1 + 1 = 2。

第四步，粘雪孩子雪球滚动一下在雪地里，发现粘雪后雪球越来越大，这相当于人类认识的高级阶段世界上，你可以进入一个良性循环的2+1=3，3+1=4……等等。1、2、3等数，可以安排在一个简单的系列中，但却可以解释为无穷大。与刚刚有了的概念，用1+1=2只有数学，用2+1=3开始数学的无穷变化。

注：下文来源：知乎，作者：齐宇，著作权归作者所有。

物理和化学可以1+1不等于二。看概念。

但是数学上1+1=2可以说是科学的基石。

如果某一个宇宙存在这样的情况，那么神学会得到空前的发展。

想想一个场景：一个灵长类动物，爬到香蕉树上，先摘下一把香蕉扔在地上，之后又摘了一把香蕉扔到地上，觉得够吃了，爬下树发现地上居然有三把香蕉。他当然不明白是怎么回事，只能当做自己模糊间摘了三把香蕉。进食的时候，他先吃了一口香蕉，又觉得嘴里还有空间又吃了一口，结果发现嘴里的香蕉居然都消失了。

当然，香蕉不同于数学，目前1+1=2还没能从数学方面完全证得，只是其他领域的共识。

但是如果1+1不等于2，那么这个世界上包括哲学都是没有办法发展的，我们目前的每一门学科都是建立在一个可以掌握可以摸清其规律的前提下的。没有规律的世界，除了神学我想象不到还能发展任何学科。也许任何事物都只能以“1”的形式存在，不然结果就不可预知。

当然，换个角度从哲学的角度来讲，我们的数字，形容词，名词都只是语言发展的过程中逐渐形成的。如果在语言的发展过程中，现在的“蓝色”被定义为“红色”那么到了今天，我们会说，今天的天好红，如果题主这个意思的话，那么“1”还被定义为我们现在的“1”而“2”被定义为现在的“3”也就是阿拉伯数字“2”和“3”的顺序调换变为1，3，2，4，5，6，7，8，9。那么1+1不等于2而是1+1=3。

以上两个角度。