北京小学奥数：关于最值问题的奥数题答案解析精讲

今天的目标是让小朋友练习并讲解如下关于最值问题的奥数题，所用知识不超过小学5年级。

题目（难度：五星）

汽车前后轮磨损的程度是不一样的，同样的轮胎，装在前轮，可以跑15000公里，装在后轮，可以跑20000公里。左右两侧对轮胎的使用寿命没有影响。如果前后轮可以随时调换，老王的爱车刚买了4个新轮胎，请问他最多可以跑多少公里才购买轮胎？

答案：120000/7。

辅导办法：

将题目写给小朋友，让他自行思考解答，若20分钟还不能解答，由家长进行讲解。

讲解思路：

解答这种类型的问题，

需要注意的是不管前后胎调换几次，

都可以折算成只调换一次前后轮胎的情况。

由于前后胎磨损速度不同。

在15000公里以前，

调换前后胎是可以增加使用寿命的。

假设老王在跑了m公里之后，

将前后胎调换了一次。

考虑三个问题：

一是原本的前胎还能跑多少公里？

二是原本的后胎还能跑多少公里？

三是什么情况下才能跑最远的公里?

步骤1：

先思考第一个问题，

假设每个轮胎的完整度是1，

装在前面时，

每公里磨损1/15000，

m公里磨损m/15000，

剩余的完整度是1-m/15000，

装在后面时，

每公里磨损1/20000,

还能继续运行的公里数是：

(1-m/15000)/(1/20000)=(15000-m)*4/3。

步骤2：

再思考第二个问题，

类似于第一个问题，

装在后面时，

每公里磨损1/20000，

m公里磨损m/20000，

剩余的完整度是1-m/20000，

换在前面后，

每公里磨损1/15000，

还能继续运行的公里数是：

(1-m/20000)/(1/15000)=(20000-m)*3/4。

步骤3：

再思考第三个问题，

要在不购买新轮胎的情况下跑的最远，

就是要使4个轮胎的使用效率最大化，

也就是要使4个轮胎同时达到最长寿命，

也就是要使前后轮胎更换后继续运行公里数相同，

即: (15000-m)*4/3=(20000-m)*3/4，

此时m=60000/7,

汽车运行的总公里是：

(15000-m)*4/3+m=120000/7公里。

思考题：

原题目中条件不变，如果在5000公里处，老王就将前后轮进行了调换。请问调整之后的前后轮哪个会最先损坏？