北京小学奥数：关于余数问题的奥数题

今天的目标是让小朋友练习并讲解如下奥数题，所用知识不超过小学5年级。

题目（难度：五星）

有一列数：1、2、7、19……,从第3项开始，每一项都等于前两项和的2倍加1。请问第2017项除以6的余数是多少？

答案：1。

辅导办法：

将题目写给小朋友，让他自行思考解答，若20分钟还不能解答，由家长进行讲解。

讲解思路：

解答这种类型的问题，

有两种做法，

一种是直接求第2018项的值，

这个很难做到；

另一种做法是寻找数列除以6余数的规律，

我们采用第二种做法。

为此，需考虑两个问题：

一是数列各项除以6后余数有什么规律？

二是第2017项除以6后余数是多少？

步骤1：

先思考第一个问题，

假设数列某项的前两项分别是6m+r和6n+d,

则数列的该项就是

2(6m+r+6n+d)+1=6(2m+2n)+(2r+2d+1),

因此，数列除以6后余数的规律就是

每一项都等于前两项和的2倍加1除以6的余数。

步骤2：

再思考第二个问题，

先把数列关于6的余数写出来：

1、2、1、1、5、1、1、5、1……

显然，余数从第3项以后就是1、5、1不断重复，

2017=3*672+1，

所以，第2017项除以6的余数是1。

思考题：

有一列数：1、2、7、19……,从第3项开始，每一项都等于前两项和的2倍加1。请问第2017项除以2的余数是多少？