北京小学奥数：关于排列组合问题的奥数题

今天的目标是让小朋友练习并讲解如下奥数题，所用知识不超过小学6年级。

题目（难度：五星）

三个公司合作召开联欢晚会，每个公司都各自编排了3个节目，要求同一公司的节目不能连续出场，请问安排节目出场顺序的方案共有多少种？

答案：37584。

辅导办法：

将题目写给小朋友，让他自行思考解答，若20分钟还不能解答，由家长进行讲解。

讲解思路：

解答这种类型的问题，

将3个公司分别设为a、b、c，

将排节目问题分为两步，

第一步是3个公司排队，每个公司排3次，但同一个公司不能相邻；

第二步是对每个公司的三个节目进行排队。

显然每个公司的3个节目都有6种排法，

3个公司共216=6*6*6种，

第二步排队的结果就是第一步的结果乘以216。

因此，问题的关键就在于求第一步的解，

也就是对a、a、a、b、b、b、c、c、c这9个字母排队，

相同字母不相邻共有多少种排法？

为此，需考虑五个问题：

一是如果抽出c后，没有aa或bb相连的情况有多少种？

二是如果抽出c后，只有aa或bb中的一个相连的情况有多少种？

三是如果抽出c后，既有aa也有bb相连的情况有多少种？

四是如果抽出c后，只有aaa或bbb中的一个相连的情况有多少种？

五是如果抽出c后，既有aaa也有bbb相连的情况有多少种？

步骤1：

先思考第一个问题，

对a、b、a、b、a、b这6个字母排队，

当没有aa或bb相连时，

只有2种情况，

此时，c的位置在这6个字母的7个空隙(含两端)中任意取3个即可，

总排法为2*7*6*5/(3*2)=70种。

步骤2：

再思考第二个问题，

对a、b、a、b、a、b这6个字母排队，

当只有aa或bb中的一个相连时，

共4种排法，

将这6个字母分为5组(相连的算1组，其余单个为1组)，

此时，c必须有1个位于相连的字母中，

剩下的2个c位置在这5组形成的6个空隙中任意取2个，

总排法为4*6*5/2=60种。

步骤3：

再思考第三个问题，

对a、b、a、b、a、b这6个字母排队，

当既有aa也有bb相连时，

共8种排法，

将这6个字母分为4组(相连的算1组，其余单个为1组)，

此时，c必须有2个位于相连的字母中，

剩下的1个c位置在这4组形成的5个空隙中任意取1个，

总排法为8*5=40种。

步骤4：

再思考第四个问题，

对a、b、a、b、a、b这6个字母排队，

只有aaa或bbb中的一个相连，

共4种排法，

将这6个字母分为3组(相连的算1组，其余单个为1组)，

此时，c必须3个都位于相连的字母中间，

总排法为4种。

步骤6：

再思考第五个问题，

如果既有aaa也有bbb相连,

那至少需要4个c来使得相邻字母不同，

这种情况不可能出现。

步骤6：

综合上述几个问题。

9个字母排队，

相邻字母不同的排法总数为：

70+60+40+4=174种。

因此，公司的排法总数是174种，

再对节目排队，

总数为174*216=37584。

思考题：

2个公司合作召开联欢晚会，每个公司都各自编排了2个节目，要求同一公司的节目不能连续出场，请问安排节目出场顺序的方案共有多少种？