北京小学奥数：关于分组问题的奥数题

今天的目标是让小朋友练习并讲解如下奥数题，所用知识不超过小学5年级。

题目（难度：五星）

某次马拉松比赛，共有2017名运动员参赛。组委会给每一名运动员发了一件印有不同号码的背心，号码为从1到2017的所有自然数。组委会希望如果两名运动员号码的差是质数，他们的背心颜色就不相同。请问组委会的背心颜色至少有多少种？

答案：4种。

辅导办法：

将题目写给小朋友，让他自行思考解答，若20分钟还不能解答，由家长进行讲解。

讲解思路：

解答这种类型的问题，

需考虑两个问题：

一是如何安排才能使相同颜色的背心号码差都不是质数？

二是什么时候颜色最少？

步骤1：

先思考第一个问题，

给定一个合数n和n种颜色，

对1-2017中的任意一个数m，

按照m除以n的余数进行分类，

只要余数相同就是同一种颜色。

则任意两种相同颜色的号码，

差一定是n的倍数，

肯定不是质数。

步骤2：

再思考第二个问题，

只要找到一个最小的合数，

问题就解决了，

最小的合数是4，

因此4种颜色可以满足题目要求。

事实上，1、3、6、8这4个数任意两个的差都是质数，

故，颜色种类确实不可能比4小，

所以，至少需4种颜色。