北京小学奥数：关于数论问题的奥数题

今天的目标是让小朋友练习并讲解如下奥数题，所用知识不超过小学5年级。

题目（难度：四星）

某自然数n的约数个数为m,且m乘以2017正好等于n。请问n最小是多少？

答案：16136。

辅导办法：

将题目写给小朋友，让他自行思考解答，若20分钟还不能解答，由家长进行讲解。

讲解思路：

解答这种类型的问题，

显然1、m和2017都是n的约数，

考虑两个问题：

一是自然数n最小时除了1、m和2017外是否还有其它约数？

二是如果有其它约数，它和m是什么关系？

步骤1：

先思考第一个问题，

如果n只有1、m和2017这3个约数，

则m=3,

此时， 3*2017也是m的约数，

存在矛盾，假设不成立。

所以，n另外有其它约数k。

步骤2：

再思考第二个问题，

由于n另外有其它约数k，

不妨设k<2017。

由于n=2017m，

而k是n的约数，

但2017是素数，

故k是m的约数。

步骤3：

综合上述两个问题，

要使n最小，

就是要使约数的个数m最小。

此时，m=k*p,

按照p和k的关系进行讨论：

(1)若p=k,

则1、k、m、2017、k*2017、m*2017都是n的约数，

故约数个数m>=7，

取最小值m=7，

7*2017只有4个约数，

不满足题意。

故此时m>=8;

(2)若p不等于k，

则1、k、p、m、2017、k*2017、p*2017、m*2017都是n的约数，

故约数个数m>=8，

取最小值m=8,

8*2017恰好只有8个约数，

满足题意。

所以，m最小是8，

n最小是16136=2017*8。

思考题：

某自然数n的约数个数为m,且m乘以17正好等于n。请问n最小是多少？