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方程组F

28.解方程组

解:注意到各方程中同一未知数系数的关系(x-y+z=1)

可以先得到下面四个二元方程:

①+②得

x+u=3,⑥

②+③得

y+v=5,⑦

③+④得

z+x=7,⑧

④+⑤得

u+y=9.⑨

又①+②+③+④+⑤得

x+y+z+u+v=15.⑩

⑩-⑥-⑦得

z=7,

把z=7代入⑧得

x=0,

把x=0代入⑥得

u=3,

把u=3代入⑨得

y=6,

把y=6代入⑦得

v=-1.

所以x=0,y=6,

z=7,u=3,v=-1

为原方程组的解

29.用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组:

a×b×c×d-a=1991

a×b×c×d-b=1993

a×b×c×d-c=1995

a×b×c×d-d=1997

试说明:符合条件的整数a、b、c、d是否存在.

解:由原题等式组可知:

a(bcd-1)=1991,

b(acd-1)=1993,

c(abd-1)=1995,

d(abc-1)=1997.

1991、1993、1995、1997

均为奇数,且只有

奇数×奇数=奇数,

a、b、c、d分别为奇数.

a×b×c×d=奇数.

a、b、c、d的乘积分别减去

a、b、c、d后,一定为偶数.

这与原题等式组矛盾.

不存在满足题设等式组的整数

a、b、c、d.

30.3×3数表各行、各列及两条对角线之和彼此相等,设为S.

求证:

(1)S=3e;

(2)2(a+c+g+i)

=b+d+f+h+4e.

证明(1)S=a+e+i

=b+e+h

=c+e+g

=d+e+f,

相加得

4S=a+b+c+d

+e+f+g+h+i+3e,

故S=3e.(2)

S=a+b+c=b+e+h,

故a+c=e+h,

同理a+g=e+f,

g+i=e+b,

c+i=e+d,

四式相加得

2(a+c+g+i)

=b+d+f+h+4e.

31.甲、乙、丙、丁四人,每三个人的平均年龄

加上余下一人的年龄分别为

29、23、21和17,这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少?

解: 设四个人的年龄分别为

a、b、c、d,根据题意有

由上述四式可知

比较⑤、⑥、⑦、⑧知,

d最大,c最小,

⑤-⑧得

2(d-c)/3=12.

所以d-c=18,

即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为18.

32.有一满池水,池底有泉总能均匀地向外涌流,

已知用24部A型抽水机6天可抽干池水,

若用21部A型抽水机8天也可抽干池水,

设每部抽水机单位时间的抽水量相同,要使这一池水永抽不干,

则至多只能用______部A型抽水机抽水

分别设原有水量a,每天涌入水量b,

每部抽水机每天抽水量为c

(单位:立方米)

a+6b=24×6c;

a+8b=21×8c

解得:b=12c,

a=72c.最多用12部

33.江堤边一洼地发生了管涌,江水不断地涌出,

假定每分钟涌出的水量相等,如果用两台抽水机抽水,

40分钟可抽完;如果用4台抽水机抽水,16分钟可抽完,

如果要在10分钟内抽完水,那么至少需要抽水机_____台.

解:设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a立方米,

管涌每分钟涌出的水量为b立方米,

又设每台抽水机每分钟可抽水c立方米,由条件可得: 

如果要在10分钟内抽完水,

那么至少需要抽水机的台数为:

本题设了三个未知数a、b、c,

但只列出两个方程.实质上c是个辅助未知数,在解方程时把c视为常数,解出a,b(用c表示出来),然后再代入求出所要求的结果.

34.甲、乙、丙三个容器中盛有含盐比例不同的盐水.

若从甲、乙、丙中各取出重量相等的盐水,

将它们混合后就成为含盐10%的盐水;

若从甲和乙中按重量之比为2:3来取,

混合后就成为含盐7%的盐水;

若从乙和丙中按重量之比为3:2来取,

混合后就成为含盐9%的盐水.

求甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数.

分析:题设中有三种混合方式,但每种混合方式从各个容器中取出的盐水的重量都是未知的,我们可以引进辅助未知数,将这些量分别用字母表示.

解:设甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数分别为

x%、y%、z%第一次混合从甲、乙、丙三个容器中各取出

a克盐水,则有

a× x%+ a× y%+ a× z%=3a×10%

从甲和乙中按重量之比为2:3来取盐水时,

设从甲中取盐水2m克,从乙中取盐水3m克,则有 

2m × x%+ 3m × y%

=(2m +3m)×7%

从乙和丙中按重量之比为3:2来取盐水时,

设从乙中取盐水3n克,从丙中取盐水2n克,则有     

3n × y%+ 2n × z%

=(3n+2n)×9%

将上面三式消去辅助未知数得:

答:甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数分别为

10%、5%、15%

本题中我们假设的未知数a、m、n不是题目所要求的,

而是为了便于列方程而设的,这种设元方法叫做辅助未知数法,

辅助未知数在求解过程中将被消去.

方程组D

方程组E

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