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最近总有孩子问老师什么是容斥原理

张娟老师今天就和大家一起来

探索有关容斥原理的知识

容斥原理

在利用加法原理进行分类计数时，需要做到“不重复、不遗漏”．具体来说，就是让划分出的每一类的范围都不会重叠，而且能涵盖所有的可能情况．然而，要进行满足要求的分类，有时会比较麻烦．这时，可以先降低要求，保证“不遗漏”，将每一类的个数相加，最后只需排除掉重复的部分即可．这就是利用容斥原理来进行计数的主要思路．

容斥原理-解题公式

有两类对象A和B，如图所示，         

                                        

全体对象的个数：A+B-AB

有三类对象A、B、C，如图所示，

                                      

全体对象的个数：A+B+C-AB-AC-BC+ABC

例题精炼

1． 在全班55名同学中，有47人会骑自行车，21人会滑旱冰，16人两样都会．请求出以下四类同学各有多少人：(1)会骑自行车，但不会滑旱冰；(2)会其中一样；(3)会骑自行车，或者会滑旱冰；(4)两样都不会．

解：(1)31人；(2)36人；(3)52人；(4)3人．

2． 在1~100中，下列三类数各有多少个：(1)既是2的倍数又是3的倍数；(2)是3的倍数，但不是2的倍数；(3)是2的倍数，或者是3的倍数；(4)既不是2的倍数，也不是3的倍数．

解：(1)16个；(2)17个；(3)67个；(4)33个．

3． 100名同学面向老师站成一排，从左往右由1开始依次报数．先让报偶数的同学向后转，再让报3的倍数的同学向后转．那么，这时仍然面向老师的同学有多少人？

解：仍然面向老师的同学是没转和转了两次的同学，即编号既不是偶数也不是3的倍数和编号是6的倍数的同学，有49人．

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