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代数化面积

4. △ABC 的面积为 1,D,E 为 AC 的三等分点,F,G 为 BC 的三等分点.求:

(1) 四边形 PECF 的面积.

(2) 四边形 PFGN 的面积

思路点拔:(1) 连结 CP,设 S△PDF=x,S△PDE=y,可建立关于 x,y 的方程组,解题的关键是把相关图形的面积用 x,y 的代数式表示,并利用等分点导出隐含图形的面积;

(2) 连结 NC,仿 (1),先求出 △BNC 的面积,再得出 △BNG 的面积,进而可求四边形 PFGN 的面积. 

(1) △ABC 的面积为 1,

D、E 为 AC 的三等分点,

F、G 为 BC 的三等分点,

连接 CP,

设 S△PCF=x,

S△PCE=y.

则 x+3y=1/3;

3x+y=1/3,

两式联立可得:

x+y=1/6,

即 S四边形PECF=1/6;

(2) 连 NC,

设 S△BGN=a,

S△CEN=b,

则 S△NCG=2a,

S△NEA=2b,

则 3a+b=1/3;

2a+3b=2/3,

解得 a=1/21,

b=4/21,

故 S四边形PFGN

=S△BEC-S△BGN-S四边形PECF

=1/3-1/21-1/6

=5/42.

点评:本题考查三角形的面积结合二元一次方程组的应用,求一些关系复杂的图形面积,代数化是一个重要技巧,利用代数化,能清晰明朗地表示图形面积之间的关系,从而可以化解或降低问题的难度.

5. 如图,△ABC 的面积为 1.第一次操作:分别延长 AB,BC,CA 至点A1,B1,C1,使 A1B=AB,B1C=BC,C1A=CA,顺次连结 A1,B1,C1,得到△A1B1C1.

第二次操作:分别延长 A1B1,B1C1,C1A1 至点 A2,B2,C2,使A2B1=A1B1,B2C1=B1C1,C2A1=C1A1,顺次连结 A2,B2,C2,得到△A2B2C2.….

按此规律,要使得到的三角形的面积超过 2020,最少经过___次操作.

分析:先根据已知条件求出 △A1B1C1 及 △A2B2C2 的面积,再根据两三角形的倍数关系求解即可.

解:△ABC与△A1BB1 底相等 (AB=A1B),

高为 1:2(BB1=2BC),

故面积比为 1:2,

∵△ABC 面积为 1,

∴S△A1B1B=2.

同理可得,S△C1B1C=2,

S△AA1C=2,

∴S△A1B1C1

=S△C1B1C+S△AA1C+S△A1B1B+S△ABC

=2+2+2+1=7;

同理可证 S△A2B2C2

=7S△A1B1C1=49,

第三次操作后的面积为

7×49=343,

第四次操作后的面积为

7×343=2401.

故按此规律,要使得到的三角形的面积超过 2020,最少经过 4 次操作.

故答案为:4.

点评:考查了三角形的面积,此题属规律性题目,解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系,再根据此规律求解即可.

面积 A

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