北京小学奥数 求和问题中的容斥原理

上期问题答案：

        由题目的已知条件可以知道，总共有90朵花，按4红、3绿、5黄、2紫依次排列，则周期为：4+3+5+2=14，用总数除以周期得：90/14=6.....6，因为有余数，根据总结的规律可以知道：余数为几，就往后推几个数。得出最后一朵花的颜色为绿色。那么红色花的朵数为：4*6+4=28（朵）、绿色花的朵数为：3*6+2=20（朵）、黄色花朵数为：5*6=30（朵）、紫色花朵数为：2*6=12（朵）。

本期内容：

 在数学中，求和问题一般都可以直接计算，如：

        盘龙小学五年级有男生12名，女生是男生的两倍，问：女生有多少人？五年级一共有多少人？

        从题目的已知条件中我们首先可以求出女生的人数，因为女生人数是男生的两倍，所以女生人数为：12*2=24（人），然后再通过将男生、女生的人数求和：12+24=36（人），很容易就可以解出答案，女生有24人，盘龙小学五年级总人数有36人。

        但是，求和问题中还存在一种求和问题，它无法通过直接相加得出答案，例如：盘龙小学五年级，在期末测试中，语文得优秀的有16人，数学得优秀的有20人，两门都得优秀的有9个人，两门都不是优秀的有7个人，问：盘龙小学五年级有多少人？

        解释：很明显这个题如果采用直接相加求和算出来的结果肯定是不对的，因为数学、语文一门优秀的人包括了两门都优秀的人，如果直接相加，那么两门都优秀的人就被重复计算了两次，因此还要减去一次两门都优秀的人，那么结果就是：16+20+7-9=34（人），所以盘龙小学五年级有34人才是正确答案。

        这一类问题就是今天要学习的求和问题中的容斥原理，也就是说在做求和计算时，要将重复计算的部分减去，重复计算了几次就要减去几次。下面再通过一个例题来加深对这一类问题的理解。

        例题一：一次数学竞赛，共有两道题，做对第一题的有24人，做对第二题的有36人，两道题都做对的有8人，问：至少做对一道题的有多少人？

        分析：求至少做对一道题的人数包括三种情况：一、做对第一题，二、做对第二题，三、两个都对。

        对于第一种情况：做对第一题的有24人，但是它包含了一次两题都对的人数，所以要减去一次为：24-8=16（人）

        对于第二种情况：最对第二题的人数有36人，但是它包含了一次两题都对的人数，所以减去一次为：36-8=28（人）

        对于第三种情况：两题都对的人数，从已知条件可以知道为8人

        所以至少对一题的人数为：16+28+8=52（人）

        通过以上两个例题的讲解分析，相信大家对这一类问题都已经有所掌握了，要想更加熟练，不要忘记勤加练习哦。

        最后附上一道容斥问题的题目：一张长10厘米，宽5厘米的长方形纸片，一张面积是40平方厘米的圆形纸片，两纸片覆盖在桌面上的面积是60平方厘米。求：两张纸片重合部分的面积是多少平方厘米？

        今天的内容就讲解到这里了，喜欢我的讲解可要关注公众号【奥数易讲】每天带您孩子学奥数。如果你孩子还在平时学习中遇到什么数学难题，也可以在公众号对话框内留言，小奥会一一为你解答。

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