北京小学奥数:关于零钱凑整问题的奥数题

今天的目标是解第二届华杯赛真题，所用知识不超过小学4年级，让你家小朋友试一试，每天进步一小点：

用1分、2分、5分的硬币凑出1元钱，有多少种不同的凑法？

该题目属于零钱凑整问题，属于排列组合问题与数列求和问题的结合。解题思路可化为以下三道题目：

题目一（简单）

用1分、2分的硬币凑出1角钱，有多少种不同的凑法？

题目二（中等难度）

用1分、2分的硬币凑出n分钱，n为正整数，当n为偶数时有多少种凑法，当n为奇数时又有多少种凑法？

题目三（进阶思考,华杯赛真题）

用1分、2分、5分的硬币凑出1元钱，有多少种不同的凑法？

以下为答案：

题目一：

答:6种。

按2分硬币的个数来考虑，2分硬币最少0个，最多5个，共6种可能。

1分硬币只是作为2分硬币的补充，

所以，共6种可能。

题目二：

答:n为偶数时，n/2+1种可能；

n为奇数时，(n+1)/2种可能。

类似于题目一的做法，还是考虑2分硬币的个数，

n为偶数时，2分硬币最少0个，最多n/2个，n/2+1种可能；

n为奇数时，2分硬币最少0个，最多(n-1)/2个, (n+1)/2种可能。

题目三：

答:541种。

考虑5分硬币的个数，最少为0个，最多为20个。

0-20中的，奇数有10个，偶数有11个。

5分硬币个数为奇数时，1分与2分钱需凑成的钱也是奇数，偶数亦然。

利用题目二的结论，

当5分硬币个数为奇数时，需要凑成的钱数是5、15、25、……、95，对应的凑法种类分别是：3、8、13、……、48，和是255=10*(3+48)/2；

当5分硬币个数为偶数时，需要凑成的钱数是0、10、20、……、100，对应的凑法种类分别是：1、6、11、……、51，和是286=11*(1+451)/2。

所以，不同的凑法种数为255+286=541种。