北京小学奥数：关于行程相遇问题的奥数题

今天的目标是解第三届奥数华杯赛真题，所用知识不超过小学5年级，让你家小朋友试一试，每天进步一小点：

一条双向铁路上有11个车站，相邻两站都相距7公里。从早晨7点开始，有18列货车从第11站顺次发出，每隔5分钟发一列，都驶向第1站，速度都是每小时60公里。早晨8点，有一列客车从第1站出发，开往第11站，速度为每小时100公里。在到达终点前，客车与货车沿途都不停靠。问：在哪两个相邻站之间，客车能与3列火车先后相遇？

该题目属于行程相遇问题，解题思路可化为以下三道题目：

题目一（简单）

一条双向铁路上有11个车站，相邻两站都相距7公里。从早晨7点开始，有18列货车从第11站顺次发出，每隔5分钟发一列，都驶向第1站，速度都是每小时60公里。早晨8点，有一列客车从第1站出发，开往第11站，速度为每小时100公里。在到达终点前，客车与货车沿途都不停靠。问：客车与7点开出的货车相遇时距离第1个车站多远？

题目二（中等难度）

一条双向铁路上有11个车站，相邻两站都相距7公里。从早晨7点开始，有18列货车从第11站顺次发出，每隔5分钟发一列，都驶向第1站，速度都是每小时60公里。早晨8点，有一列客车从第1站出发，开往第11站，速度为每小时100公里。在到达终点前，客车与货车沿途都不停靠。问：客车与这18列货车相遇时距离第1个车站分别多远？

题目三（进阶思考,华杯赛真题）

一条双向铁路上有11个车站，相邻两站都相距7公里。从早晨7点开始，有18列货车从第11站顺次发出，每隔5分钟发一列，都驶向第1站，速度都是每小时60公里。早晨8点，有一列客车从第1站出发，开往第11站，速度为每小时100公里。在到达终点前，客车与货车沿途都不停靠。问：在哪两个相邻站之间，客车能与3列火车先后相遇？

以下为答案：

题目一：

答: 25/4公里。

客车出发时，7点钟开出的货车已经行驶了1个小时，也就是60公里。

第1个站和第11个站距离是70公里，

客车出发时，与7点钟开出的火车距离为10公里，

客车速度每小时100公里，火车速度每小时60公里，

由比例关系，可得：

相遇点据第1站为10*100/(100+60)=25/4公里。

题目二：

答: 第n列货车的相遇点距离第1站为(n+1)*25/8公里。

由于每相邻的2列货车发车时间都是5分钟，故距离都是5公里，

客车与前一列货车相遇后，与后一列货车的距离也是5公里，

与后一列火车的相遇点和前一列货车的相遇点距离为

5*100/(100+60)=25/8公里,

从题目一知道，客车与第一列货车相遇点距第1站为25/4=(1+1)*25/8公里，

由等差关系递推，

第n列货车的相遇点距离第1站为(n+1)*25/8公里。

题目三：

答:第5站和第6站之间。

从题目二知道，客车与第n列货车的相遇点距离第1站为(n+1)*25/8公里。

即 (数列1)：50/8、75/8、100/8、……、475/8。

每两站之间的距离是7公里，这些站的位置分别是：

(数列2):0、7、14、……、70，

要使两个相邻站之间，客车能与3列火车先后相遇，

也就是要使上数列1的三个相邻分数落到数列2的两个相邻数之间，

显然，只有225/8、250/8、275/8都介于28和35之间，

对应的车站为第5站和第6站。