北京小学奥数：关于余数问题的奥数题

北京小学奥数：关于余数问题的奥数题

今天的目标是解第三届奥数华杯赛真题，所用知识不超过小学5年级，让你家小朋友试一试，每天进步一小点：

某数a=19911991……1991(共1991个1991)，请问a除以13的余数是多少？

该题目属于余数问题，但这种很多个数的余数问题，关键在于寻找数列规律，转化为数列问题。解题思路可化为以下三道题目：

题目一（简单）

某数b=10000，数c=1+b+b*b,请问c除以13的余数是多少？

题目二（中等难度）

某数d=199119911991(共3个1991)，请问d除以13的余数是多少？

题目三（进阶思考,华杯赛真题）

某数a=19911991……1991(共1991个1991)，请问a除以13的余数是多少？

以下为答案：

题目一：

答:0。

因为b除以13的余数是3，

故b*b除以13的余数是9，

因此：1+b+b*b除以13的余数是1+3+9=13,

也就是说，c可以被13整除。

题目二：

答:0。

设数b=10000，数c=1+b+b*b,

从题目一知道，c能被13整除，

而d=1991+1991*b+1991*b*b=1991*c,

因此，d也可以被13整除，

所以，d除以13的余数是0。

题目三：

答:8。

考虑首项是1，公比为b=10000的等比数列，

该数列的前1991项和s=1+b+b*b+……+b*…*b,

类似于题目二中对d的处理，

可得：a=1991*s,

因为数列中每连续3项的和都可以被13整除，

而1991=153*13+2，

故：s除以13的余数与1+b除以13的余数相同，都是4。