北京小学奥数：关于数论问题的奥数题

今天的目标是解第四届奥数华杯赛真题，所用知识不超过小学4年级，让你家小朋友试一试，每天进步一小点：

小华玩某种游戏,每局都可随意玩若干次,每次得分是8,a(自然数),0是这三个数中的一个，每局各次得分的总和叫做这一局的总积分，小华曾得到这样的总积分：103、104、105、106、107、108、109、110 ，又知道他不可能得到83 分这个总积分，a 是多少？

该题目属于数论问题，解题思路可化为以下三道题目：

题目一（简单）

小华玩某种游戏,每局都可随意玩若干次,每次得分是8,a(自然数),0是这三个数中的一个，每局各次得分的总和叫做这一局的总积分，小华曾得到这样的总积分：103，请问a是奇数还是偶数？

题目二（中等难度）

小华玩某种游戏,每局都可随意玩若干次,每次得分是8,a(自然数),0是这三个数中的一个，每局各次得分的总和叫做这一局的总积分，小华曾得到103和108分，请问a可能是多少？

题目三（进阶思考,华杯赛真题）

小华玩某种游戏,每局都可随意玩若干次,每次得分是8,a(自然数),0是这三个数中的一个，每局各次得分的总和叫做这一局的总积分，小华曾得到这样的总积分：103、104、105、106、107、108、109、110 ，又知道他不可能得到83 分这个总积分，a 是多少？

以下为答案：

题目一：

答:奇数。

103=m*8+n*a,

由于103是奇数，故a只能是奇数。

题目二：

答: 1、3、5、7、9、11、13、15、19、21、23。

从题目一知道，a是奇数。

而108=m*8+n*a，

考虑m取遍0到13所有自然数时，

n*a可能的值是108、100、92、84、76、68、60、52、44、36、28、20、12、4，

a是这些数的奇数因子，可能是：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27，

再考虑103=m*8+n*a，

考虑m取遍0到12所有自然数时，

n*a可能的值是103、95、87、79、71、63、55、47、39、31、23、15、7，

a是这些数的奇因子，

二者的公共部分为：1、3、5、7、9、11、13、15、19、21、23。

题目三：

答:13。

从题目二知道，要得分103和108，a可能是1、3、5、7、9、11、13、15、19、21、23。

而得分不可能是83，

类似于题目二的方法，计算出：a不可能是1、3、5、7、9、11、15、17、19、25、27、35、43、51、59、67、75，

故:a可能是13、21或23，

而要得出106，a不可能是23，

要得出104，a不可能是21，

所以，a只能是13。