北京小学奥数：关于约数问题的奥数题

今天的目标是解如下奥数题，所用知识不超过小学4年级，让你家小朋友试一试，每天进步一小点：

从1949年新中国成立以来到2017年已经68年了。请问这68年中，有没有哪一年的年份数只有奇数个约数？

该题目属于约数问题。

遇到这种类型的题目，做法是：先找个特殊的例子看看，然后再发现普遍规律，最后应用规律。

解题思路可化为以下三道题目：

题目一（简单）

请问25有多少个约数？35有多少个约数？

题目二（中等难度）

某正整数n只有奇数个约数，请问是否存在一个正整数m，满足n=m*m?

题目三（进阶思考）

从1949年新中国成立以来到2017年已经68年了。请问这68年中，有没有哪一年的年份数只有奇数个约数？

以下为答案：

题目一：

答:25有3个约数，35有4个约数。

25的约数是1、5、25，共3个。

35的约数是1、5、、7、35，共4个。

思考：注意到25=5*5，35=5*7，

自然想到是否奇数个约数对应的是完全平方数？

题目二：

答: 一定存在。

因为约数都是成对出现的，如果n=a*b，那么a和b都是n的约数，

只有当a=b时，才会出现单个约数的情形。

所以，如果某正整数n只有奇数个约数，n一定是某个自然数的平方。

题目三：

答:没有。

从题目二知道，如果某正整数n只有奇数个约数，n一定是某个自然数的平方。

因为44*44=1936，

45*45=2025，

故从1949到2017都不是是某个自然数的平方，

所以，这68年间没有任何一年的年份数只有奇数个约数。