北京小学奥数：一道难度很高的的奥数题

今天的目标是解第五届华杯赛奥数题，所用知识不超过小学4年级，让你家小朋友试一试，每天进步一小点：

用0、1、2、3、4这5个数，组成1个四位数，每个四位数都是由4个不同的数字组成，请问所有这些四位数的和是多少？

该题目属于排列组合与数字求和的复合问题。

遇到这种类型的题目，做法是：先找个简单的例子看看，然后再发现普遍做法，接着应用于题目。

解题思路可化为以下三道题目：

题目一（简单）

用1、2、3这3个数，组成1个两位数，每个两位数都是由2个不同的数字组成，请问所有这些两位数的和是多少？

题目二（中等难度）

用0、1、2这3个数，组成1个两位数，每个两位数都是由2个不同的数字组成，请问所有这些两位数的和是多少？

题目三（进阶思考,华杯赛真题）

用0、1、2、3、4这5个数，组成1个四位数，每个四位数都是由4个不同的数字组成，请问所有这些四位数的和是多少？

以下为答案：

题目一：

答:132。

1、2、3这3个数，组成数字不重复的两位数共3*2=6种可能，

注意到每个数字出现的几率是相同的，

则十位上面，每个数字出现6/3=2次，

个位也一样是2次。

故，这些所有两位数的和是(1+2+3)*2*(10+1)=132。

题目二：

答:63。

考虑0、1、2组成数字不重复的所有两位数及一位数的和a，

此时，一位数可以看作首位是0的两位数，即12=012。

与题目一类似，和是(0+1+2)*2*(10+1)=66。

再考虑所有一位数的和b,和是3。

所以，两位数的和等于a-b=63。

题目三：

答:259980。

类似于题目二的做法，

先考虑在首位可以为0的时候，考虑所有四位数的和a：

首位可为0时四位数的个数是5*4*3*2=120个，

0、1、2、3、4在每一位上出现的次数是120/5=24，

和是：24*(0+1+2+3+4)*1111=266640。

再考虑由1、2、3、4组成的所有数字不同的三位数的和b，

三位数的个数是4*3*2=24个，

1、2、3、4在每一位上出现的次数是24/4=6，

和是：6*(1+2+3+4)*111=6660。

所有四位数的和是a-b=259980。