北京小学奥数：关于行程相遇问题的奥数题

今天的目标是解第五届华杯赛奥数题，所用知识不超过小学4年级，让你家小朋友试一试，每天进步一小点：

已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同。而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同。猫、狗、兔沿着周长300米的圆形跑道，同时同向同地出发，请问：他们出发后第一次相遇时各跑了多远？

该题目属于排列组合与数字求和的复合问题。

遇到这种类型的题目，牢记速度比等于距离比，相遇时，距离差正好是整数圈。

解题思路可化为以下三道题目：

题目一（简单）

已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同。请问：猫和狗的速度之比是多少？

题目二（中等难度）

已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同。猫、狗沿着周长300米的圆形跑道，同时同向同地出发，请问：他们出发后第一次相遇时各跑了多远？

题目三（进阶思考,华杯赛真题）

已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同。而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同。猫、狗、兔沿着周长300米的圆形跑道，同时同向同地出发，请问：他们出发后第一次相遇时各跑了多远？

以下为答案：

题目一：

答:9：25。

相同的时间内，速度比等于距离比

在猫跑3步的时间里，狗跑了5步，

猫每一步的距离与狗每一步的距离比是3：5，

故相同时间内，猫狗距离比是3*3：5*5=9：25，

所以，速度比是9：25。

题目二：

答:猫675/4米，狗1875/4米。

第一次相遇时，狗比猫多1圈，也就是300米。

从题目一知道，猫狗速度比是9：25，

因此，猫跑的距离是300*9/16=675/4米，

狗跑的距离是300*25/16=1875/4米。

题目三：

答: 猫8437.5米，狗23437.5米,兔16537.5米。

先求速度比。

从题目知道：猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同

故：在相同时间内，如果猫跑15步，则狗跑25步，兔跑21步。

而由于猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同。

故：猫、狗、兔各跑1步的距离比是(1/35): (1/21): (1/25)=15:25:21。

因此：猫、狗、兔的速度比是225:625:441。

猫与狗的速度差：猫与兔的速度差=400：216=50：27。

三者第一次相遇时，

猫与狗的距离差是300的倍数，猫与兔的距离差也是300的倍数。

距离差的比值等于速度差的比值，等于圈数差的比值。

要满足第一次相遇，圈数差必须最小，

而最小的圈数差是猫比狗少50圈，猫比兔少27圈。

也就是猫比狗少15000米，猫比兔少8100米，

由比例关系，

猫跑的距离是15000*225/(625-225)=8437.5米，

狗跑的距离是15000*625/(625-225)=23437.5米,

兔跑的距离是8100*441/(441-225)=16537.5米。