北京小学奥数：关于约数问题的奥数题

今天的目标是解第六届华杯赛奥数题，所用知识不超过小学4年级，让你家小朋友试一试，每天进步一小点：

某数a满足1995+a能整除1995*a。在1、2、3……1995这1995个数中找出满足要求的所有a。

该题目属于约数问题。

遇到这种类型的题目，做法是：对原条件简化以找规律。

解题思路可化为以下三道题目：

题目一（简单）

某自然数比1995大，比2*1995小，且能整除1995*1995，请问该自然数可能是多少？

题目二（中等难度）

某数a满足1995+a能整除1005*a。请问1995+a能否整除1995*1995？

题目三（进阶思考,华杯赛真题）

某数a满足1995+a能整除1995*a。在1、2、3……1995这1995个数中找出满足要求的所有a。

以下为答案：

题目一：

答: 2205、2527、2793、3249、3325、3675。

分解因数：1995=3*5*7*19，

故1995*1995的约数就是1、3、3、5、5、7、7、19、19中任意多个数的乘积组合，

其中满足条件的有：2205、2527、2793、3249、3325、3675。

题目二：

答:能。

因为存在某自然数k，满足1995*a=(1995+a)*k

故：1995*1995

=1995*(1995+a)-1995*a

=1995*(1995+a)-(1995+a)*k

=(1995-k)*(995+a),

因此，1995+a一定能整除1995*1995。

题目三：

答: 210、532、798、1254、1330、1680。

从题目二知道，1995+a是1995*1995的约数，

而1995+a大于1995，小于2*1995，

从题目一知道，满足上述条件的数有2205、2527、2793、3249、3325、3675。

所以，a的值是210、532、798、1254、1330、1680.