北京小学奥数：关于开关问题的奥数题

今天的目标是解第六届华杯赛奥数题，所用知识不超过小学4年级，让你家小朋友试一试，每天进步一小点：

在1997行1997列的正方形棋盘上，每个格子里都装有一盏灯和一个开关。每按一次开关，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变不亮，或不亮变亮。开始时，棋盘里的所有灯都不亮。请问：至少需要按多少次开关，才能使得所有灯都亮起来？

该题目属于开关问题，又叫翻牌问题。即一次改变状态，两次返回原样。

遇到这种类型的题目，做法是：先找个简单的模型寻找规律，再应用规律。

解题思路可化为以下三道题目：

题目一（简单）

在3行3列的正方形棋盘上，每个格子里都装有一盏灯和一个开关。每按一次开关，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变不亮，或不亮变亮。开始时，棋盘里的所有灯都不亮。请设计一种方案，按3次开关使所有灯都亮起来。

题目二（中等难度）

在1997行1997列的正方形棋盘上，每个格子里都装有一盏灯和一个开关。每按一次开关，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变不亮，或不亮变亮。开始时，棋盘里的所有灯都不亮。请问：如果按开关的次数少于1997次，能否使所有灯都亮起来？

题目三（进阶思考,华杯赛真题）

在1997行1997列的正方形棋盘上，每个格子里都装有一盏灯和一个开关。每按一次开关，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变不亮，或不亮变亮。开始时，棋盘里的所有灯都不亮。请问：至少需要按多少次开关，才能使得所有灯都亮起来？

以下为答案：

题目一：

答:

将第一行中的每个开关都逐个按一遍，共按3次：

第1次，第1行亮，第1列亮；

第2次，第1行不亮，第2列亮；

第3次，第1行亮，第3列亮。

这样，所有的灯都亮了。

题目二：

答: 不能。

如果按开关的次数少于1997次，

至少存在某一个m行的开关都没有被按过，

也至少存在某一个n列的开关都没有被按过，

因此，m行n列位置处的灯状态从未改变，

也就是该灯不会亮。

题目三：

答: 1997次。

类似于题目一的做法，将第一行中的每个开关都逐个按一遍，共按1997次，则所有灯都会亮。

从题目二知道，如果按的开关次数少于1997，至少有一盏灯不亮。

所以，至少需要按1997次。