北京小学奥数：关于得分问题的奥数题

今天的目标是解如下奥数题，所用知识不超过小学4年级，让你家小朋友试一试，每天进步一小点：

某次考试只有判断题、选择题、填空题三种类型，每种类型的题目各100道。判断题每题1分，选择题每题2分，填空题每题5分。每道题目要么得0分，要么得全部分。小明得了100分，请问小明的答题情况有多少种可能。

该题目属于得分问题，与零钱凑整问题属于同一类问题。

解题思路可化为以下三道题目：

题目一（简单）

某次考试只有判断题、选择题两种类型，每种类型的题目各100道。判断题每题1分，选择题每题2分。每道题目要么得0分，要么得全部分。小明得了10分，有多少种不同的答题情况？

题目二（中等难度）

某次考试只有判断题、选择题两种类型，每种类型的题目各100道。判断题每题1分，选择题每题2分。每道题目要么得0分，要么得全部分。小明得了n分，n为不大于100的正整数，当n为偶数时有多少种答题情况，当n为奇数时又有多少种答题情况？

题目三（进阶思考,华杯赛真题）

某次考试只有判断题、选择题、填空题三种类型，每种类型的题目各100道。判断题每题1分，选择题每题2分，填空题每题5分。每道题目要么得0分，要么得全部分。小明得了100分，请问小明的答题情况有多少种可能。

以下为答案：

题目一：

答:6种。

按正确的2分题目的个数来考虑，2分最少0个，最多5个，共6种可能。

1分题目只是作为2分题目的补充，

所以，共6种可能。

题目二：

答:n为偶数时，n/2+1种可能；

n为奇数时，(n+1)/2种可能。

类似于题目一的做法，还是考虑正确2分题目的个数，

n为偶数时，2分最少0个，最多n/2个，n/2+1种可能；

n为奇数时，2分最少0个，最多(n-1)/2个, (n+1)/2种可能。

题目三：

答:541种。

考虑正确5分题目的个数，最少为0个，最多为20个。

0-20中的，奇数有10个，偶数有11个。

5个数为奇数时，1分与2分钱需凑成的数也是奇数，偶数亦然。

利用题目二的结论，

当5分个数为奇数时，需要凑成的数是5、15、25、……、95，对应的凑法种类分别是：3、8、13、……、48，和是255=10*(3+48)/2；

当5分个数为偶数时，需要凑成的数是0、10、20、……、100，对应的凑法种类分别是：1、6、11、……、51，和是286=11*(1+451)/2。

所以，不同的答题种数为255+286=541种。