北京小学奥数：这道华杯赛奥数题有点难

今天的目标是解第六届华杯赛奥数题，所用知识不超过小学4年级，让你家小朋友试一试，每天进步一小点：

圆周上放有N枚棋子，B点的一枚棋子位于A点右侧第一个，小明首先拿走B点的棋子，然后顺时针每隔1枚拿走2枚棋子，连续转了10周，9次越过A。当将要第10次越过A的时候，圆周上还剩20多枚棋子，已知N是14的倍数。请问棋盘上究竟剩余多少棋子？

该题目属于数学游戏问题，这类问题通常难度很高。

解题思路可化为以下三道题目：

题目一（简单）

圆周上放有一些棋子，B点的一枚棋子位于A点右侧第一个，小明首先拿走B点的棋子，然后顺时针每隔1枚拿走2枚棋子，连续转了10周，9次越过A。当将要第10次越过A的时候，圆周上还剩a枚棋子。请问当将要第9次越过A的时候，剩余多少棋子？

题目二（中等难度）

圆周上放有一些棋子，B点的一枚棋子位于A点右侧第一个，小明首先拿走B点的棋子，然后顺时针每隔1枚拿走2枚棋子，连续转了10周，9次越过A。当将要第10次越过A的时候，棋盘上还剩a枚棋子。请问开始时，圆周上有多少棋子？

题目三（进阶思考,华杯赛真题）

圆周上放有N枚棋子，B点的一枚棋子位于A点右侧第一个，小明首先拿走B点的棋子，然后顺时针每隔1枚拿走2枚棋子，连续转了10周，9次越过A。当将要第10次越过A的时候，圆周上还剩20多枚棋子，已知N是14的倍数。请问棋盘上究竟剩余多少棋子？

以下为答案：

题目一：

答:3a个棋子。

从第9次将要越过A时，对棋子进行标号，A为1号，其余顺时针为1、2、3……,

该轮操作中，拿走的棋子是2、3，5、6，8、9……，

剩余的是1、4、7、10……,共a个，

观察数列规律知道，

从第9次将要越过A时，棋子数是3a。

题目二：

答:59049a-1。

从题目一知道，从第9次将要越过A时，棋子数是3a;

类似推理知道：第1次将要越过A时，棋子数是

（3^9a）=19683a,

若一开始有N枚棋子，在开始操作的第一圈内，类似于题目一的做法编号以后，剩下的是1、3、6、9……,

第一圈结束时正好将要越过A，说明剩余棋子数是(N-1)/3,

故: (N-1)/3=19683a，

所以，N=59049a-1

题目三：

答:23。

从题目二知道，若最后剩余a个，则N=59049a-1，

又知道a是20多个，假设a=20+b,其中b是1到9的自然数之一，

而N能被14整除，不妨假设N=14k,

则14k=59049*14+59049*6+59049b-1

注意到59049=4218*14-3,

代入整理有：14*(-k+59049+6*4218+4218b-1)=3b+5,

即:3b+5是14的倍数

由于b是1到9的自然数，

则3b+5的范围是8到32

只能是14或28，

所以，b只能等于3，a只能是23。