北京小学奥数：关于整除问题的奥数题

今天的目标是解如下奥数题，所用知识不超过小学4年级，让你家小朋友试一试，每天进步一小点：

形如3^n+n^3的数中，当n取遍1、2、……、2017时，有多少个数能被5整除？

（注: 3^n表示3的n次方，即n个3相乘；n^3表示n的3次方，即3个n相乘。）

该题目属于整除问题，方法是寻找数列规律。

解题思路可化为以下三道题目：

题目一（简单）

n为自然数，n^3除以5的余数有什么规律？

题目二（中等难度）

n为自然数，3^n除以5的余数有什么规律？

题目三（进阶思考,华杯赛真题）

形如3^n+n^3的数中，当n取遍1、2、……、2017时，有多少个数能被5整除？

（注: 3^n表示3的n次方，即n个3相乘；n^3表示n的3次方，即3个n相乘。）

以下为答案：

题目一：

答:以5为周期。

注意到(n+5)^3-n^3是5的倍数，

故：(n+5)^3与n^3除以5的余数相同，

因此余数以5为周期，分别是1、3、2、4、0不断重复。

题目二：

答:以4为周期。

注意到3^(n+4)-3^n=80*3^n是5的倍数，

因此3^(n+4)与3^n除以5的余数相同，

所以，余数以4为周期，分别是3、4、2、1不断重复。

题目三：

答:404。

从题目一知道，n^3除以5的余数以5为周期不断重复，

从题目二知道，3^n除以5的余数以4为周期不断重复。

因此，3^n+n^3除以5的余数以20为周期不断重复。

从1到20的余数分别是：

4、2、4、0、3、0、0、3、2、4、3、4、0、3、2、2、1、1、3、1，

其中有4个数可以被5整除，

而2017=100*20+17，

在n取2001到2017的17个数中，也有4个满足上述条件，

所以，共404个数能被5整除。