北京小学奥数：关于循环赛得分的奥数题

今天的目标是解第8届华杯赛奥数题，所用知识不超过小学4年级，让你家小朋友试一试，每天进步一小点：

10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，没有平局。比赛结果中，有2个队并列第一，2个队并列第三，2个队并列第五，其余队分别为第7、8、9、10且得分不同。请问各队得分各是多少？

该题目属于循环赛得分问题，

解题思路可化为以下三道题目：

题目一（简单）

10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，没有平局。比赛结果中，有2个队并列第一。请问排第一的队可能得18分么？

题目二（中等难度）

10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，没有平局。比赛结果中，有2个队并列第一，2个队并列第三，2个队并列第五，其余队分别为第7、8、9、10且得分不同。请问排名前6的队得分可能是15、16、17么？

题目三（进阶思考,华杯赛真题）

10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，没有平局。比赛结果中，有2个队并列第一，2个队并列第三，2个队并列第五，其余队分别为第7、8、9、10且得分不同。请问各队得分各是多少？

以下为答案：

题目一：

答:不可能。

10个队循环比赛，每个队比赛9场，得分最高为18，最低为8。

要得18分，必须9场全胜。

现在有2个队并列第一，这2个队之间必定有胜有败，

不可能都是9场全胜，

因此，第一名得分不可能是18分。

题目二：

答: 不可能。

从题目一知道，最高得分18分，最低9分，且没有队得到18。

因此，得分最低为9，最高17。

又总共比赛场数为45场，各队得分相加是45*3=135分，

如果第一名17，第三名16，第五名15，

那么得分前6的队总得分就是2*(15+16+17)=96,

则剩下的4个队总得分就是135-96=39，

而剩下的4个队最低得分为9，且得分不同，

其和最小是9+10+11+12=42，

矛盾。

所以，排名前6的队得分不可能是15、16、17。

题目三：

答：两种情况：从低到高分别是9、10、11、13、14、14、15、15、17、17；

或者9、11、12、13、14、14、15、15、16、16。

从题目一知道，得分区间是9-17，

从题目二知道，排名前6的队得分不可能是15、16、17都有。

因此，在15、16、17中，至少有1个不是排名前6的队的得分。

此时，排名最后的4个队得分可选范围只能是9、10、11、12、13，

又注意到，10个队的总得分135是奇数，

前6的队的总得分是偶数，

后4的队总得分只能是奇数。

对前6的队的得分情况进行讨论：

当17不是得分时，前6的队只能是14、15、16，后4的队得分是9、11、12、13，各队得分从低到高分别是9、11、12、13、14、14、15、15、16、16；

当16不是得分时，前6的队只能是14、15、17，后4的队得分是9、10、11、13，各队得分从低到高分别是9、10、11、13、14、14、15、15、17、17；

当15不是得分时，前6的队只能是14、16、17，前6个队总得分94，后4个队总得分41，这是不可能的。