北京小学奥数：难度很高的奥数题，关于数论问题

今天的目标是解第7届华杯赛奥数题，所用知识不超过小学4年级，让你家小朋友试一试，每天进步一小点：

a、b、c是1-9中的3个自然数，且a>b>c,它们组成了3个三位数abc、bca、cab，小明计算这3个3位数的乘积时，得出的结果是234235286。老师说结果中数字的顺序出现了错误，但最后1位数6是对的。请问abc代表多少？

题目一（简单）

a、b、c是1-9中的3个自然数，且a>b>c,它们组成了3个三位数abc、bca、cab，小明计算这3个3位数的乘积时，得出的结果是234235286。老师说结果中数字的顺序出现了错误，请问a可能比7小么？

题目二（中等难度）

a、b、c是1-9中的3个自然数，且a>b>c,它们组成了3个三位数abc、bca、cab，小明计算这3个3位数的乘积时，得出的结果是234235286。老师说结果中数字的顺序出现了错误，请问a+b+c除以9的余数可能是多少？

题目三（进阶思考,华杯赛。真题）

a、b、c是1-9中的3个自然数，且a>b>c,它们组成了3个三位数abc、bca、cab，小明计算这3个3位数的乘积时，得出的结果是234235286。老师说结果中数字的顺序出现了错误，但最后1位数6是对的。请问abc代表多少？

以下为答案：

题目一：

答:不可能，

如果a比小，

由于a>b>c,

则b比6小，c比5小，

即:abc<700,bca<600,cab<500,

它们的乘积210000000，

而234235286排列的最小数都是222334568，

所以a不可能比7小。

题目二：

答:2、5或8。

任意一个自然数除以9的余数都与组成这个自然数的所有数字之和除以9的余数相同。

因此，234235286不管怎么排列，除以9的余数都是一样的，

由于2+3+4+2+3+5+2+8+6=35=3*9+8，

故abc*bca*cab除以9的余数是8，

而abc、bca、cab这3个数除以9的余数都与a+b+c除以9的余数一样，

因此 (a+b+c)除以9的余数的立方，关于9的余数是8，

而a+b+c除以9的余数只可能是1-8，代入验证：

 (a+b+c)除以9的余数可能的取值是2、5、8。

题目三：

答：983。

从题目一知道，a不能比7小，a的取值只可能是7、8、9。

从题目二知道，a+b+c除以9的余数只可能是2、5、8。

题目中已知:a*b*c的末尾1位数是6,且a>b>c。

结合上述3点，对a讨论：

(1)当a=7时,要使得a*b*c的末尾1位数是6，b、c只能是3、6或2、4，但都不满足除以9的余数是2、5、8，不可能。

(2) 当a=8时,类似的讨论知道，不可能。

(3)当a=9时，类似的讨论知道，b=8,c=3符合题意。

所以，abc代表983。