数论11大常考题型与真题来了（华杯小高组）

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题型一：整除

出题趋势：纯考整除特征不多，往往结合参数、余数考，要学会运用整除3大特征变形分析。

例1.（23年夏科技营T8）已知20xy23————是2023的倍数,求x+y的值。

例2.（21年冬广东营T4）已知73abc6———— 能被 56 整除(b<4),且a除40,61,810的余数相同,求所有满足要求的6位数.

例3.（22年夏广东营T11）请求出下列m的所有可能值，已知m是不大于2022的正整数，2022+m能整除2022m，求m值.  

例4.（22年夏广西营T6）abcde——除以abde——为整数,求abcde——的值.

例5.(23年冬文化营T12)计对于某些正整数，  不是最简分数，求n的最小值.

题型二：连续数

出题趋势：连续数，主要出题2个方向：一是最值问题分析；二是个数分析。

例6.(22年夏令营T7) 任意m个连续自然数中，若必有一个数的各位数字之和是 6 的倍数，求m的最小值。

例7.把 2024 写成尽可能多非零连续自然数之和的形式，那么加数最多为多少个？ 共有多少种不同的分拆方法？

例8.四个连续偶数乘积为 abcabc————,那么这四个偶数的和为多少？

例9.(21年冬广州营T12) 若一个正整数不能写成若干个连续正整数的和，那么这个数称为“孤独数”，如4就是一个“孤独数”，但6不是.那么小于2021的正整数有多少个“孤独数”.

例10.(23年冬文化营T16) 若干个连续正整数相加的和为 1000，这样的正整数构成的数列有多少个？

题型三：求余数

出题趋势：往往结合实际运用、数列、阶乘、余数、参数考，出题概率大，要重点掌握。

例11.（23年夏科技营T6）今天是2023年2月25日，星期六，那么今天之后的第 （202325 +2）天是星期几。

例12.(23年冬文化营T11)12+34+56+78+910+……+9798+99100+101102 的结果除以8的余数是多少。

例13.（23年冬科技营T12）求1!1 +2!2 +3!3 ....... +100!100 除以 2023 的余数多少.

例14.（21年T6）试计算：的结果的个位数字是多少.

例15.（22年冬令营T8）若正整数n，满足6066 除以 n(n+1) 所得的余数（最小非负剩余数）为3n，求n的值。

例16.（21年T4）令 其中[x]表示不超过x的最大的整数(如 那么将a， b， c三个数按从小到大的顺序用“<”连接的结果。

题型四：多个余数的处理

出题趋势：高频考点，结合实际、最值、多种情况考，要掌握物不只数、余数处理等常见考法。

例17.（23年夏文化营T2）小明参加少年宫音乐组，7月8日开学，每4天上一次课；小萍参加少年宫美术组，7月9日开学，每5天上一次课；小强参加少年宫棋艺组，7月10日开学，每6天上一次课。那么，他们三人首次在同一天都去少年宫上课的日期是   月   日.

例18.（22年冬广西营T8）一个正整数A，分别除以2、3、4、5、6都余1，除以7的余数为0，而除以8的余数却是5，求A的最小值.

例19.（22年冬广冬营T5）设 A = 1234567891011……9596979899（A 是由1，2，3，…，98，99 按顺序抄写一遍而得到的），记 A 分别被 15，9，8 除所得的余数（最小非负剩余数）分别为a，b，c,求 a+b+c的值.      

例20.（22年冬广西营T7）若两个三位数2ab—和1ba——(a、b为两个数码)被7除所得的余数都等于6，求a+b的值.

例21.（22年冬广东营T8）若正整数n，满足6066除以n(n+1)所得的余数（最小非负剩余数）为3n，求n的值。

例22.（22年冬广东营T2）有一个正整数x，甲将其除以 8，乙将其除以 9．若甲所得的商数和乙所得的余数之和等于13，则甲所得的余数是多少。

题型五：求公约数

出题趋势：高频考点，重点考察：数学抽象与推理能力和规律寻找。

例23.（23年夏文化营T4）正整数 m各个数位上数字之和与正整数n各个数位上数字之和的积是72。m和18的最小公倍数，n和18的最小公倍数都是720，那么 m，n和45这三个数的最大公因数是多少.

例24.（23年冬科技营T9）(3N+4,5N +2)表示这两个数的最大公因数，那么这两个数的最大公因数的可能值之和是多少。

例25.（22年冬令营T7）若 10 个互不相同的正整数的和是 20220，则这 10 个正整数的最大公约数的最大值是多少.

例26.（22年冬令营T3）三个数 4，16，28 都能被2整除，2是4，16，28的一个公因数，然而4是 4，16，28的最大公因数，把最大公因数记成4 = (4,16,28) ，一般地用d= (a，b，c)表示三个正整数（或非零整数）的最大公因数，现在设 a是一个任意的正整数，d= (a，a+2021, 2a+ 2022) ，d的值是多少.

例27.（22年冬令营T10）八位数20211202共有约数多少个．

例28.（19年冬令营T7）一个自然数有 18 个约数，且这 18 个约数中，一位数、两位数、三位数各有 6 个，那么这个自然数是几？

题型六：完全平方数

出题趋势：大题与小题均属于高频考点，难度较大，重点考察完全平方数的公式、尾数分析、数学推理与分类讨论。

例29.（22年冬广西营T4）已知两个数的和为 8993，且这两个数的积为20211202，那么，这两个数差的平方是多少.

例30.（23年冬科技营T5）龙教授靠着墙围建一个篱笆，围成一个长方形，三条篱笆长度均为整数，且平方和为2022，则面积的最大值为多少.

例31.（22年夏令营T3）红星小学围棋兴趣小组有4位小朋友和2位教练，4位小朋友依次相差2岁，2位教练相差2岁，6个人年龄的平方和是2796岁，6个人年龄之和是多少岁.

例32.（21年T7）A，n为自然数，满足A= (n−7)(n+8)，且A为完全平方数，那么n有多少种值；n的最小值是多少，n的最大值是多少.

例33.（22年夏令营T18）设非零自然数a, b, c满足方程a²+b²-c=2022.试求：

(1) a²+b²+c²的最小值；

(2)当a²+b²+c²取得最小值时a, b, c的值.

例34.（22年冬广西营T15）2022是否能表示成三个质数的平方和?  

例35.（23年夏科技营T18）

(1)能把1~2024这2024个自然数分成两组，使每组数的平方和相等吗?请说明理由。

(2)能把1~2026这2026个自然数分成两组，使每组数的平方和相等吗?并请明理由。

题型七：阶乘与数论结合

出题趋势：重点考察阶乘的变形与分析。

例36.（23年夏科技营T9）n!表示1~n这n个连续自然数之积.6!=1×2×3×4×5×6=720 , 20!=2432902008176640000,其中6!是10的倍数,20!是104=10000的倍数.已知2023!是10k的倍数，则k的最大值.

例37.（23年夏科技营T12）设1!×2!×3!×……×99!×100!表示 100个阶乘之积,删去其中一个阶乘,使剩下的99个阶乘之积为完全平方数.那么删去的是哪个数的阶乘。

题型八：位值的化简与分析

出题趋势：高频考点，基本考法：位值定理拆分化简，然后分类讨论。

例38.（23年夏科技营T4）4个四位数abbc——,bacb——,cbba——,abbc——的和为19998,a,b,c两两互质,则a+b+c的最小值为多少.

例39.（22年冬广西营T13）有abc——和cba—— 两个三位数，每个字母代表不同的数字，它们的比是5：6，求abc——是多少.

例40.（22年冬令营T9）在正整数A的右端又多写了2个数字，所得数恰好等于由1到A的所有正整数的和，求A的值.

例41.（23年夏文化营T11）十进制数: 20232025的各个数位上数字之和记为A，A的各个数位上数字之和为B，B的各个数位上数字之和为C，求C的值。    

题型九：不定方程分析

出题趋势：主要考查分类讨论的严谨程度，主要结合现实场景考察不定方程的运用与分析。

例42.（22年夏广西营T7）10a+11b=1011,求a加b最小值.

例43.（23年夏科技营T10）某平台直播间销售玩具飞机，规定：每位顾客最多可买3架，如果买1架需按原定价，买2架可降价8%，买3架可降价16%，现售出玩具飞机916架。出售给433位顾客，最后结算发现：平均每架玩具飞机售价恰好是原定价的88%，那么购买3架玩具飞机的顾客有多少人。

例44.（23年夏科技营T1）甲、乙二人代表学校参加市象棋比赛，规定：任何两个选手都要赛一盘，胜者积2分，负者积0分，平局积1分。甲、乙二人共积 10分，其他人积分均相同。那么，参赛的选手最多有_人。

题型十：质数与合数

出题趋势:单独考数字2和余数系的概率不大，结合计数考的概率还大一点。

例45.（19年冬令营T5）如果质数p和q使得p²=2q²+1,那么(p²+q³)³的值为多少.

例46.（20年夏令营T6）已知p为100以内的质数，满足p³+7p²为完全平方数，这样的p有多少个.

例47.已知，，，，都是质数，那么n为多少。

题型十一：高斯方程

出题趋势：主要考察高斯取整的取值范围和方程，难度较大

例48.（19年夏令营T7）设x是实数，用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x-[x].

求 值.

例49.在中共出现多少个互不相同的数？

例50.（23年冬科技营T13）求[3x+1]=2x+的所有解的和。

例51.解方程其中x是整数。

例52.(23年冬文化营T13)计设[n]表示不超过n的最大整数，例如[4.8]=4 。已知：若0x，[x[x]]有a1 种结果，若0x，[x[x]]有a2 种结果；..........,若0x，[x[x]]有an 种结果，求的最小值是多少。

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