7月15日华数之星广州夏令营小高组解析及简评

写在前面：

本来以为上周广州华杯的活动已经结束了，结果这周同样的配方不同的试卷又来了一场。

据说上周还有一场YCB，有点心疼广州的孩子。

不过想想北京的娃，暑假的战役也是刚刚开始，也就说不清楚到底谁家更卷。

这套试卷的难度整体上和上周那套差不多，但计算量显著大不少，两道数论的难题孩子也不好解决。

别的就不多说了，看题吧。

试题来自考生回忆版本，可能有误。反正我最初拿到的流出版本，几何题的题跟图不太对得上，好在是个老题，我按原题改了。

前4题里面，1、2对小学生都不容易。1的本质是整式的整除，需要因式分解或者至少会整式除法才能比较容易做——更别提还穿了个组合的衣服。我感觉直接把那个数论方程扔给娃，大部分娃也解不出来。2是通项计算里面中档偏难的档位题，逻辑步骤较多。

3跟4相对简单一点，第4题就算想不到奇偶性，试着凑一下也能凑出来。

5~9题唯一值得说的就是第7题，我记得20年还是21年考过一道差不多的题，三角形三边ab+bc+ac=133求abc的值。小学的做法都是用讨论法消掉其中一个未知数，然后因式分解去找质因数。这里还结合了最值问题去考察，难度不小，计算量也不小，考场上能做出来的娃特别了不起。其他题都是送的。

10题就是列方程组猛算，11题是经典的接力给油问题，但是因为是考生回忆版本，这个题干描述过于不清晰了，看不出来要不要回头，以及能不能原地放油，这个答案是按需要回头+不能原地放油做的，如果条件实际上不一样结果也会不同。

12本来很难，但因为是导引原题，大家都做过，就没啥意思了。

13是送的，14这个计数不难，但是计算量极大且不容易对。记住组数一定要讨论首位就行。

15应该是这张卷子最难的一道题，如果是个填空题可能还好（因为可以取巧试答案，910拆成两位数相乘的方法总共只有4种，乘数是10跟70的那俩还特容易排除），但解答题的话，小学生想要严谨证明这个数字谜对于所有自然数k恒成立几乎是个不可能完成的任务了。

16题是个很无聊的题，连续8个自然数平方和配对相等是个比较骗门的结论，知之为知之不知为不知。我不认为不知道这个结论的娃有能力做出来。

相比之下17题好一点，考察定比分点模型，虽然很多老师不讲，但是中点的情况可以用梯形中位线证明。当然这个题是个很老的题，以至于我拿到流出的题目后发现图对不上，就直接从题库把原图拔过来了。

18题很巧妙，需要用到平均速度的一致说明两艘船同时调头。同样是流水行船，08年迎春杯有一道往返相遇对称性做的题，15年有一道路程为等差数列的题，都有自身的巧妙之处，可以一起欣赏。

跟上次相比，这次的18题稍微有点新东西。——但与其说是新东西，倒不如说是中学代数和数论题的下放。

第1题跟第7题，比较简洁的做法都是需要因式分解基础的。虽然说ab+a+b这种形式的因式分解已经快被算作小学内容了（六年级高思导引就有相关题目出现）。

15题也是个小学生很难做的题，关键还是个解答题。很难想象能够准确写出这道题严谨过程的同学得多优秀。

还是那几个比较显著的特点：

1、计算量极大。上一套卷子我用的词是“很大”，但不足以形容这套。

我一般拿我自己的解题速度来估算学生的水平。对于华杯这种导引3~5星难度的小奥题，在初见的情况下，比较优秀的孩子解题速度大约是我的1/3，特别厉害的孩子能到我的1/2。

上一套卷子，我拿着计算器写完18道题的解析用了25分钟，不用计算器大概是35分钟，那么足够优秀的孩子在2个小时内是有机会做完的。

但这套卷子，我拿着计算器做完所有的题目的解析也用了37分钟。2、5、7、10、14这五个题，每道题的计算量都不小，特别点名批评第10题这种纯堆砌计算量的应用题。——这个题我试了一下，用十字交叉去解，不用方程，计算量也是差不多大。可能存在一种比较巧妙的平均分组可以简化计算，但这种拼凑就不属于正常解题做法了。

那么拿掉计算器不给用，然后填空题不用写过程，时间基本扯平了，按我的做题速度是娃的3倍来看，即使比较优秀的娃也够呛能做完。

反正我小时候肯定做不完。

2、数论占比高。这次18道题里7道数论，最难的几道题都是数论，懂的都懂。

3、代数要求高。1跟7都是要简单因式分解的，然后有个方程很烦的第10题和位值展开很恐怖的15题，没有初中水平的代数是做不来的。

不过这个是华杯传统了，几年前华杯还叫华杯的时候，我就跟娃天天说，华杯重代数，迎春重思维。这么多年也没变过。

还有最后一点，下面说。

也不是从这张华杯卷子才开始的，但总感觉最近几年的小奥试卷，需要孩子掌握的结论性知识越来越多了。

最无聊的比如这次的第16题，“连续8个自然数的平方和可以分成相等的两组”，就属于一个纯粹记忆性的结论，掌握这个结论对后续的数学学习没什么帮助，但如果不知道，这个题不可能做出来。

更普遍的是需要孩子掌握更多本来不存在小学奥数里的结论。比如最近许多试题里所考察的“因数和为奇数的数是平方数or平方数的2倍”“一个数有奇因数-1种方式拆分为连续自然数和”“两互质数的剩余系相互完备”“圆与直线相切，则半径垂直于切点”。前两个数论里的结论可能娃还可以在考场上现推出来，后面两个就属于没学过一脸抓瞎了。

于是娃需要学习记忆的结论越来越多，题目本身的思辨性越来越少。

其实个人情感上，我不觉得这是一件好事。小奥最漂亮的题目，一定是不涉及过于复杂的数学定理或结论，而是借助初等的数学工具结合巧妙的分析思维抽丝剥茧得到答案。