北京数学：几何综合之瓜豆原理

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点B为已知动点，点C随着点B位置的变化而变化，我们可以将点B称之为主动点，点C为从动点，

根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；

根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．

必要条件：两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（如上图：∠CAB是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AB:AC是定值）．

最值求解：

关键的两点：在动点移动过程中，长度不变的线段

常用线段：① 轨迹半径

                 ② 两圆心间距离 

                 ③ 定点到主动点/从动点圆心的距离

类比：当A、B、C三点构成特殊三角形时：

1、▲ABC为等腰RT▲  ①定点B为直角时

连接BO，构造以BO为直角边的等腰RT?BOO'

2、当BC为等腰RT?ABC 斜边时

此时构造出以BO为等腰RT?斜边

相似比为1比根号2

类比练习：2018年1月东城初三期末

、

最大值：AB+AP'   '

最小值AB-AP

3、当?ABC为等边?时：

类比练习：

原理：点到直线的距离垂线段最短

几道小练习：

1、

M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．

 当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．

最大值：

2、

最小

最大

类比练习：2020人大附2月

推荐一道几何综合——2017人大附4月0模（非常经典）

法①：倍长中线，连接GE、GD、BD

证明，▲BDG为RT?，利用 RT?斜边上的中线＝斜边一半，求等腰三角形BDF顶角

法② 延长DC至点U使CU=DE连接BU、BD

将BF构造成RT?DBU,斜边中线

法③：巧妙构造等腰三角形（线段BD的垂直平分线）

法④中位线+RT?斜边中线

全等+平行四边形 → 35+55+20=110°

（3）

当动点轨迹为线段时：

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”

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