点击领取>>>北京中考真题、北京各区初三一模、二模试卷及答案解析汇总

【题目】

在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.

（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）；

（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.

图1

【读题】

解题的第一步当然是读题，读题的目的是弄清题意。单墫教授在《解题研究》中对此有过精准的论述：“已知是什么？需要我们做什么？这一点是极简单明白的事情。但如果提问几位正在做题的、中等偏下的学生，往往能发现他们并不一定清楚问题的条件，而且也不太清楚自己在做什么。”“‘一目十行，过目不忘’，前四个字可以解释为能够很快地理解题意，抓住最主要的东西；后四个字表示一种短暂的记忆力，即在一段时间内记住条件和结论。这种功夫需要多练（多读书）。”

弄清楚除了已知和未知，还要迅速地从记忆的“存储库”中提取出相关的解题模型和解题经验，进行有效的组合。解题经验是“死的知识”，用起来才是“活的知识”，积累经验的目的就是为了解决问题时候能够很好地激活它。

因为比解答更重要的是解法，即如何从已知走向了未知，而将题目中的信息与记忆中的信息进行有效组合，适当整理，正是走向未知的第一步，因此，题目应当认真读、仔细读，真正弄清楚，谋定而后动。

具体到本题，题干中的关键信息有三条：

第一条，背景图形是等腰直角三角形ABC，由此可知△ABC中线段和角的关系；

第二条，CQ=CP，线段数量关系暗示轴对称的位置关系，可得△ACP≌△ACQ；

第三条，QH⊥AP，由此可得相关角度的数量关系，是本题问题解决的关键。

（1）角度关系的计算与推导，这样的题目在平时的练习中经常进到，往往是三角形内外角的关系的综合应用，本小问也不例外。

（2）两条线段的数量关系，几何直观判断此二线段并不相等，那么一定是倍分关系。初读题目时，题目条件中的“等腰直角三角形”要引起重视。

【分析】

    （1）这是一道送分题。突破口不同，方法也不同。下面介绍两种不同的方法：

方法一：内角与外角的关系

由已知可得，∠CAB=∠ABC=45°；

又因为∠PAC=α，

可得∠BAP=∠BAC-∠PAC=45°-α；

因为QH⊥AP，可得∠AHM=90°；

于是，在Rt△AHM中，

可得∠AMQ=180°-90°-（45°-α）=45°+α。

方法二：“8字型”模型

由已知条件可知AC和QH构成“8字型”模型，于是可得∠PAC=∠Q=α；

又知∠B=45°，则可知∠AMQ=∠B+∠Q=45°+α。

第二种方法几乎是“一目了然”的，可见几何直观在某种程度上，并不亚于严谨的逻辑推理和计算。几何直观对于几何综合题的分析所起的作用，是考生在备考期间经常会忽略的。

（2）这一问没有其他任何新增加的信息，分析此种类型的题目，必然要对第一问的作用提高警惕，两问之间往往有着密切的联系。

为了分析MB和PQ之间的数量关系，几何直观可以初步判定二者长度是不相等的，需要确定二者的倍数。为此需要从已知信息中进行分析，并挖掘各条线段的数量关系与位置关系。

首先考虑（1）的结论所隐藏的信息：

（1）的结论∠AMQ=45°+α；同时根据已知可以得出∠QAC=∠PAC=α；

于是可得∠MAQ=45°+α，则∠AMQ=∠MAQ，可得QA=QM。

接下来，就是对考生基本功的考查了，如何构造三角形以便更好地分析线段之间的数量关系呢？或者说，如何构造全等的三角形进行分析呢？

图2

图3

图4                     图5

需要注意的是，采用这种分析思路，在证明三角形全等时，如果考虑到QA=QM=PA，则可以选取不同的三角形全等的判定方法。

图6

图7

图8

构造平行四边形的进行线段的集中，还可以采用下面的方法七进行，为了便于区别，将方法七单独列出。

图9

图10

除此之外，还可以采取构造平面直角坐标系的方法进行，感兴趣的读者可以阅读【反思】部分。

    【反思】

1.“一个躺着的和一个站着的直角三角形”是几何综合题中重要的基本模型，不同的放置方向和相对位置可以产生不同的图形。考生在备考期间，要重视此类模型在几何综合题的解答过程中所起的过渡作用，熟练运用此类模型，可以压缩思维的长度，提高解题的效率。

几何模型的积累在于平时的总结，比如一对直角三角形，可以在运动变化过程中通过平移和旋转产生各种常见的应用，如图11所示的几种情形，就在本题个各种方法中都有涉及。我们可以把这个模型成为“一个躺着的和一个站着的直角三角形”，从而便于记忆。

图11

2. 对于北京中考真题，数量有限，做一道就少一道，在做题时，不仅要重视题中涉及的知识点和解题方法，更要重视这类题目的解法。我们学习的不仅仅是解决这一道题的技巧和方法，更是这一类题目的解题方法。如果考生能够足够重视解题的一般流程，并在实践中不断实践应用，那么才算是真正学会了如何思考，才能从根本上进行思维的训练，而不是疲于应付考试。      

波利亚主张：“一个有责任心的教师与其穷于应付繁琐的教学内容和过量的题目，还不如选择一个有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各个侧面，在指导学生解题的过程中，提高他们的才智与推理能力。使学生通过这道题目，就如同通过一道大门而进入一个崭新的天地。”这段话同样可以作为考生备考时的参考。在这个意义上说，刷一百道题，也不如深入“研究”一道题。

3. 本题还可以分别求出线段的长度，进而获得二者的数量关系。

图12

声明：本文信息来源于网络整理，由网站团队（微信公众号搜索：北京小学学习资料）排版编辑，若有侵权，请联系管理员删除。

扫码添加“家长论坛”微信好友（微信号 16619908263）

获取北京中考真题、北京各区初三一模、二模试卷及答案解析汇总

咨询北京中考冲刺课程请拨打电话 16619908263 （同微信号）