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图1

【读题】

读题的过程分为两个方面，一方面，是从题干和问题设置中获取关键的信息。（1）DP=PE=3，则求DE的长，属于简单的解直角三角形的问题。（2）就需要充分利用本题中的60°，DP+PE=6，∠DPA=∠OPE，这三个条件。另一方面，要从解题经验和方法的总结中迅速检索相关的解题类型和几何模型。本题根据分析出发点的不同，可以采取两种不同的思路进行分析：

其一，是根据∠DPA=∠OPE，构造轴对称图形，从而获得解决的突破口；

第二，结合题干信息并综合进行分析，可以明确构造等边三角形也不失为一种理想的方法；再结合DP+PE=6，这显然是等边三角形的一个重要性质的应用，说明等边三角形的高等于6.

如图2所示，等边△OQN中，M为OQ中点，P为OQ上一点，PD⊥QN，PE⊥ON，根据三角形面积关系：

图2

即PE+PE的和，正好是等边三角形的高的值。

当我们画出上图所示的基本图形后，结合“角分线”这一关键词，发现其中又“隐藏”着一个经典的几何模型——“对边互补+角分线”模型。这样的分析为顺利确定点M的位置做好了准备。

图3

上述分析，需要对图2涉及到的数量关系非常熟悉，对考生的解题经验要求比较高。如果不建立这样的等边三角形，也可以按照标准答案的思路进行计算，读者可以参照下文【标准答案】进行对比，此处从略。

（2）在寻找突破口方面难度较大，入手不容易。下面采取三种不同的角度进行分析。

方法一：角分线和对角互补模型的应用

根据上一问，可知分析时需要借助等边△ONQ，其角分线为NM。

如果考生熟悉角分线的模型，可以发现本题隐藏着“角分线+对角互补”这样一个核心的几何模型，于是，问题的分析是“显而易见”的。

如图4所示，可知点D、E在以PN为直径的圆上，又∠PMN=90°，因此点M也在此圆上。因为NM平分∠END，可得DM=ME。于是问题解决，即存在这样的点M，使得比值为定值1。       

图4

方法二：定值转换和垂直平分线

如图5所示，作点D关于射线OA的对称点K，连接KP。

因为∠OPE=∠APD=∠APK，可知点K、P和E三点共线。

作线段KE的垂直平分线，交射线OA于点M，连接MK、ME，MD。

则不难得出MD=MK=ME，又因为在点P运动的过程中PD+PE为定值，

所以线段KE的垂直平分线恒为直线，因此直线l与射线OA的交点恒为点M，

于是，MD=MK=ME恒成立，故存在这样的点M，使得结论成立。

图5

方法三：轴对称与全等应用

这种方法与方法二是出发点是一样的，不同之处在于通过三角形全等证明ME=MK，这也是标准答案提供的思路，读者可参见下文，此从略。

方法一的思路源于对于几何模型的运用自如，难点在于能够凭借“蛛丝马迹”将不同的模型综合起来解决问题；方法二和方法三则又需要对于同时将角度相等和和为定值转化为一条“竖直”的线段，对于图形的构造也有比较高的要求。

【反思】

1. 本题最后一问几何定值的分析是本题的难点，或者说寻找解决问题的切入点是本题的难点。在这个角度来看，（1）和（2）两个问题的设置是紧密相连的，从中也可以看出命题老师的良苦用心。

2. 几何综合题，不变的永远是几何模型。本题只提供了一个60°，以及两条线段的和为定值，条件之间的关系貌似比较松散，据此画出隐藏的等边三角形是解题的关键。对角互补和角分线的结合可以产生等邻边的四边形，这也是非常典型的几何模型。方法一正是根据这样的解题经验，通过构造等边三角形从而获得问题的突破。

3. 方法二和方法三，是从“PD+PE=6”入手，通过轴对称图形，将两条线段转化到了同一条直线上，本质上是确定点D关于射线OA的对称点的轨迹或者确定点M的轨迹，从而确定MP=ME。

4. “角分线+对角互补”这一几何模型，在几何综合题中具有重要地位，据此衍生出来的中考综合题不胜枚举，在海淀、西城等的八年级期末试题中也多有考查，远的如2006年北京中考、2010年宣武区中考一模，近的如2016年11月海淀期中，2017平谷一模，2018年北京各区模拟试题中更多；全国各地中考试题如2015年重庆B卷、2016年吉林长春、2017年宁夏等地的中考几何综合题，八年级的如2011年1月海淀期末、2014年1月西城区期末试题几何综合题，这些试题均是这一几何模型的应用。

5. 下面再提供一种新的思路。

建立平面直角坐标系如图8所示，过点D作DH⊥x轴于H，作PG⊥DH于G。

图8

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