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【题目】

正方形ABCD的边长为2.将射线AB绕点A顺时针旋转α，所得射线与线段BD交于点M，作CE⊥AM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN.

（1）如图1，当0°< α < 45°时，

①依题意补全图1；

②用等式表示∠NCE与∠BAM之间的数量关系            ；

（2）当45° < α < 90°时，探究∠NCE与∠BAM之间的数量关系并加以证明；

（3）当0° < α < 90°时，若边AD的中点为F，直接写出线段EF长的最大值.

图1

【读题】

首先利用题干信息作出图形，然后才能在读题过程中很好地理解题目该出的条件和需要解决的问题。

（2）的角度推导需要写出严谨的证明过程，解题经验告诉我们，应该类比（1）的分析过程进行。

（3）需要求出线段EF的最大值，需要根据题目条件，合理构造最值模型。

【分析】

（1）补全图形如图2所示。在进行∠NCE与∠BAM之间的数量关系推导时，要求考生熟练掌握以下两个基本的图形，如图3和图4所示。

         图2               图3              图4

图3中，根据正方形的轴对称性可知∠BAM=∠BCM；

由图4可知∠BAE=∠BCE。

所以可知∠MCE=2∠BAM，又因为∠NCE=∠MCE，

所以∠NCE=2∠BAM。

这样的分析，如果考生对于常见的、核心的几何模型比较熟悉，则分析过程是“瞬间”完成的，如果对于这些模型不是很熟悉，则就需要通过一步一步的分析完成，明显要花费比较多的时间。

（2）当45°< α < 90°时，探究∠NCE与∠BAM之间的数量关系，分析时可类比（1）进行，如图5所示，作出几何图形. 

图5

显然，∠NCE=∠MCE=2∠DAM=2（90°-∠BAM）=180°-2∠BAM.

角度推导属于几何综合题中较难的类型，通过本题的上述分析可知，熟悉常见的几何模型是角度推导能够顺利实现的先决条件。

下面来看（3），这是一道涉及几何最值的问题。

关键是分析点E的运动轨迹。如图6所示，根据题意可知，∠AEC始终为直角，因此，可知点E在正方形ABCD的外接圆上。

于是，根据几何直观，如图7所示，可知当点F、O、E三点共线时，线段EF取得最大值，EF的最大值为OF+OE的值.

            图6                                                 图7

这里在分析线段EF的最值时，用到的几何模型主要有两个，一个是三角形任意两边之和大于第三边，另一个是圆上一点到圆内一点距离的最大值。

【标准答案】

（1）①补全的图形如图8所示．……1分

②∠NCE=2∠BAM．……2分

（2）当45°<α<90°时，．……3分

证明：

如图9，连接CM，设射线AM与CD的交点为H．

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，

直线BD为正方形ABCD的对称轴，

点A与点C关于直线BD对称．

∵射线AM与线段BD交于点M，

∴∠BAM=∠BCM=α．

∴∠1=∠2=．

∵ CE⊥AM，

∴∠CEH=90°，∠3+∠5=90°．

又∵∠1+∠4=90°，∠4=∠5，

∴∠1=∠3．

∴∠3=∠2=．

∵点N与点M关于直线CE对称，

∴∠NCE=∠MCE=∠2+∠3=．…… 6分

             图8                               图9

【反思】

1.本题在读题时需要首先作出图形，然后才能更好地理解图形中蕴藏的数量关系和位置关系。根据题意补全图形，属于送分题。但是这样的作图过程，又是帮助考生迅速深入题目情景，熟悉图形生成过程的关键步骤。

2.通过本题的分析，再次体现出几何模型对于几何综合题的重要作用，几何模型的积累过程贯穿整个初中阶段几何板块的学习过程，需要高度重视，并且要系统进行。

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