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【读题】

读题过程中不仅要获取题干有效信息，更重要的是在自己在记忆中筛选出对应的几何模型和解题方法。这就要求考生在平时进行系统的总结归纳，以便在考场上快速有效地进行分析。

本题是正方形背景下的等腰直角三角形的旋转问题，也可以认为是共直角顶点的双等腰直角三角新的旋转模型。如果考生已经对此进行了系统的总结，在分析时就更有可能快速获得解题思路。

本题第（1）问作图，属于送分题；（2）①需要证明三条线段的数量关系，这样的问题设置大大降低了分析的难度；（2）②要求直接写出答案，在作图正确的前提下，凭借几何直观可以准确获得答案。因此，这个小问题的难度就在于做出正确的几何图形，但是，要想正确地作出图形，又要求考生有一定的逻辑推理能力。         

【分析】

（1），依题意补全图形，送分题。如下图2所示。

首先作出示意图如图3所示，作图不要求完全准确，不要在做图上耽误太多时间。

观察结论可知需要构造直角三角形，又根据等式右边式子特征可知需要借助正方形的对角线，因此连接BD，可获得解题思路。

显然，△APQ为直角三角形，则∠Q=∠APQ=45°，下面采取不同的方法进行证明。

方法三：

如图5所示，因为∠ABD=∠APD=45°，可知点P在正方形ABCD的外接圆圆O上，且BD为圆O的直径，显然∠BPD=90°，下面从略。

（2）②，重新看一下题目要求：若点P，Q，C恰好在同一直线上，判断线段BP与AB的数量关系并直接写出答案。

首先是作出大致的草图，如图6所示。通过“几何直观”可知BP和AB相等，下面需要综合应用正方形和等腰直角三角形的性质进行证明。

下面采用三种不同的思路（涉及到多种方法）对这个问题进行较为详细的探究和分析。

思路一：全等三角形和直角三角形斜边中线

方法一：

如图6所示，延长CD至F，使得DF=DC，连接AF，QF，

可知△APQ和△ACF均为等腰直角三角形，

又可证△AQD≌△APB（SAS），得QD=PB，

又AF=AC，∠FAQ=∠CAP，AQ=AP，

所以△AQF≌△APC（SAS），

所以∠AQF=∠APC=45°，

于是∠CQF=∠AQC+∠AQF=90°，

于是在Rt△FCQ中，因为D为FC的中点，

所以DQ=DC=AB.

方法二：

如图7所示，延长CB至E，使得BE=CB，连接AE，PE，

可知△AQF和△ACE均为等腰直角三角形，

又可证△AQD≌△APB（SAS），得DQ=BP，

因为AQ=AP，∠QAC=∠PAE，AC=AE，

所以△AQC≌△APE（SAS），

得∠APE=∠AQC=45°，所以∠CPE=90°，

在Rt△CPE中，BP=BC=AB.

上述两种运用全等的方法，是等腰三角形的构造在几何综合题中的典型的应用，通过两次证明全等，实现结论的证明。这是几何综合题的常规的、典型的类型。

思路二：构造相似三角形

方法三：

如图8所示，连接AC，分别取PQ、AC中点G、O，连接AG，OG，

延长AD至E，使DE=AD，连接QE，

可得∠AGC=90°，

因为∠QAG=∠DAC=45°，所以∠QAE=∠GAC，

所以△AQE∽△AGC（SAS），

得∠AQE=∠AGC=90°，

于是DQ=DA=AB.

方法四：

如图9所示，延长AB至F，使BF=AB，连接PF，

连接AC，分别取AC、PQ的中点O、G，连接AG、OG，

读者可仿照方法三的分析，自行完成证明过程，在此不再赘述。

方法五：

如图10所示，连接AC，分别取AC、PQ的中点O、G，连接AG，OG，

不难证明∠AGC=90°，∠BAC=∠GAP=45°，

于是∠BAP=∠OAG，

这种方法在本质上与方法五是相同的.

方法六：

如图11所示，连接AC，分别取AC、PQ的中点O、G，连接AG、OG、BG，

因为∠QAC=∠QAG+∠GAC，∠GAB=∠BAC+∠GAC，

所以∠QAC=∠GAB，

所以∠AGB=∠AQC=45°，

又GA=GP，于是可得GB为AP的垂直平分线，所以AB=PB.

上述四种运用相似的方法的证明的过程，是从共端点的等腰三角形这样的基本模型出发，通过对线段关系的不断转发实现线段相等的证明的。

思路三：辅助圆

鉴于本题的特殊性，如果构造恰当的辅助圆进行角度的推导，可以较为简便的完成证明过程，下面采取不同的角度进行分析。

方法七：

如图12所示，以为∠ADC=2∠AQC=90°，所以点Q在以点D为圆心，DA为半径的圆上，

不难证明△ADQ≌△ABP（SAS），

可得DQ=BP，所以DQ=DA=BP=AB。

方法八：

如图13所示，因为∠ABC=2∠APC，可知点P在以点B为圆心，BA为半径的圆上，

显然可得BP=AB。

方法九：

如图13所示，取PQ中点G，连接AG，AC，BG，

可得∠AGC=∠ADC90°，所以点G在正方形ABCD外接圆上，

于是∠BGA=∠BCA=45°，所以GB平分∠AGC，

由等腰三角形“三线合一”的性质可知GB为AP垂直平分线线，所以BP=AB.

方法十：

如图14所示，连接BD，交AP与点H，连接CH，

因为∠CPH=∠CBD=45°，所以点B、P、C和H为圆的内接四边形，

所以∠BPH=∠BCH=∠BAH，所以BP=AB.

上述四种辅助圆的方法，是建立在深刻理解图形的数量关系和位置关系的基础之上的。毫无疑问，辅助圆在角度的转换和线段的相等的证明过程中，显得“简单高效”。

【反思】

1. 几何综合题的问题设置是分层次，比如“依题意补全图形”就属于较为简单的类型，这样的问题要确保能够拿到分数.

2. 对于较为复杂的几何综合题，要根据“几何直观”获得分析方向，还要根据“逻辑推理”获得分析方法。对于凭借“几何直观”就可以获得的分数要志在必得.

3. 本题（2）②还隐藏着一个很重要的等腰直角三角形，如下图所示，取BQ的中点N，取PQ的中点G，连接ON，NG，则△ONG为等腰直角三角形。当然，也可以取DP的中点为N。这个模型在各类考试题中也时有出现，比较经典的如2015年安徽中考的几何综合题.

4. 深入分析，可以发现本题的最后一问的证明过程中，充分运用了共直角顶点的等腰三角形的旋转变化，希望考生能够重视这样的几何模型的构造和应用，并熟悉其中的数量关系和位置关系。

5. 最后对线段相等的解题思路进行总结。证明两条线段相等的思路主要有以下几个方面：

从角度考虑：在同一三角形中等角对等边；同圆（或等圆）中借助圆周角、圆心角相等得到其所对的弦相等。

从线段考虑：线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等；角平分线上的点到角的两边的距离相等；平行的两条直线间的距离处处相等；关于某直线（或某点）对称的两点到直线（或某点）的距离相等；圆的垂径定理涉及到的相等线段；从圆外一点引圆的两条切线长度相等。

从图形考虑：全等形的对应边相等；直角三角形中斜边上的中线等于斜边一半；含30°角的直角三角形的斜边是30°角所对边的二倍；三角形和梯形中位线和底边的关系；平行四边形（当然包括矩形、菱形、正方形）的对边相等，对角线互相平分等；以及正多边形（如正方形、正六边形等）中边与对角线、对角线于对角线之间的相等、和差、倍分关系。

从计算考虑：直接计算两条线段相等；等量代换转换计算；运用比例式、等积式转换计算。

从运用方法考虑：如比较常见的面积法、割补法等基本的方法。

从几何变换的角度考虑：如旋转、对称、平移三大几何变换涉及到的基本模型中产生的相等线段，以及在解题中总结的与此相关的各类模型中的相等线段。

当然，在平时的解题中，还会涉及到“角分线+对角互补”、“角分线+平行线”等模型中产生的相等线段。

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