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【题目】

如图1，Rt△ABC中，∠ACB =90°，CA =CB，过点C在△ABC外作射线CE，且∠BCE =α，点B关于CE的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CE于点M，N.

（1）依题意补全图形；

（2）当= 30°时，直接写出∠CMA的度数；

（3）当0°<< 45°时，用等式表示线段AM，CN之间的数量关系，并证明．

【读题】

题干除了交代△ABC为等腰直角三角形、∠BCE=α之外，还描述了一个简单的作图过程，在读题的同时需要将图形补全，这也是（1）的作答要求，补全的图形如图2所示。

（2）当α= 30°时，直接写出∠CMA的度数，显然，凭借几何直观可得∠CMA=45°，这一步并没有要求考生进行逻辑推理，而是“直接写出结果”，因此，考场作答时不要在此耽误时间。

（3）要求分析线段AM，CN之间的数量关系，而且明确要求“用等式表示”，又因为二者并不相等，因此，题目“暗示”二者之间应该是“倍数”关系，需要分析这个倍数是多少，至此，可以大胆猜测AM=根号2倍的CN，这里，完全是根据解题经验和直觉，下面需要严谨的逻辑推理，此之谓“大胆假设、小心求证”。

【分析】

（1）按照题干要求进行作图即可，送分题。

（2）角度的分析和计算，虽然题目要求直接写出结论，这里还是进行较为深入的分析，以便帮助考生更好地理解各线段之间的数量关系和位置关系。下面采用不同的方法进行分析。

上面两种思路，都是基于AM进行等腰直角三角形的构造，两种方法都是来源于“一个站着的和一个躺着的直角三角形”这样的几何模型展开的（图5中是△BCN和△ACG，图6是△BCN和△BMN），其中方法三也是“斜直角”常见的处理方式，而方法四“隐藏”着一个平行四边形ACNH。

上述两种方法，都是基于共直角顶点的双等腰直角三角形这样的基本的几何模型展开的。

当然，如果采用图10的辅助线作法，还可以采取另外的一种方法进行证明：

思路三涉及到的五种方法，是一种“系统性”分析问题的方法——一旦确定证明的方向，即基于CN构造等腰直角三角形，那么分别以点C和N为直角顶点，在两个方向上一共就可以采取四种不同的构造方法。这种系统性的思维方式，是几何思维和数学素养的精华所在。

图13中如果过点M、C向AG作垂线，可以发现有上述不同方法的“影子”，同时，也使得图形“豁然开朗”。除此之外，图13中还暗含了∠AGD的角分线的轴对称图形.

【反思】

1. 本题是一道经典的几何综合题，涉及到作图、角度的几何直观以及线段数量关系的逻辑证明.

2. 最后一问，线段根号2倍难度不大，不同的突破口可以获得不同的思维方式。考生在完成解答之后，至少要从以下三个不同的层次进行思考：

第一，两条线段根号2关系证明题的解题策略：模型构造，以及借助构造的模型进行分析，构建的模型在进行问题求解是是否有比较难以逾越的“障碍”？比如角度推导；

第二，几何综合题的解题策略，包括以下几个方面：大胆假设和小心求证的一般思路，发展条件和转化结论的操作方法，解题经验和待解问题的有效联系，类比、转化与化归等数学思想的应用；模型构造对于解决问题的作用是如何体现的？

第三，也是最深层次的内容，需要结合认识规律进行：通过解题是否能够更加系统地理解解决问题的处理方式，这样的经验与以往的经验是否类似，同时，还要通过解决“下一个”问题来检验这样的分析方法是否有效和完善。

3. 本题在解决最后一问是，“构造法”起到了至关重要的作用，即以AM为斜边构造等腰直角三角形和以CN为直角边构造等腰直角三角形。“构造法”作为一种重要的化归手段，是一种极富技巧性、系统性和创造性的解题方法，体现了数学中观察、猜想、探究、发现、类比、化归等数学思想方法。

4. 最后，再来谈一下系统性思维对于几何题分析过程中的积极作用。比如本题中，以CN为直角边构造等腰直角三角形时，分别以点C、N为直角顶点，在线段CN的两侧，可以采取四种不同的构造方法，这样的分析是值得学习和引起重视的。事实上，有很多涉及到“构造”或者“几何变换”的问题，如果采取“系统性”的分析方法，必然会获取更多的解题方法。掌握了这个高层次的思维方式和认识模式，比掌握一些辅助线的处理技巧，显得更加重要和有效。

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