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第一部分选择题

选择题第8题

频率与概率数据分析

本题答案：C。

【解析】

此题属于频率与概率知识点的考察。主要考察通过大量的重复试验，可以用随机事件发生的频率估计它的概率。

与此题类似的是北京2017年的选择题最后一题：

第二部分填空题

填空15题

数学思维解决现实问题

本题答案：16；29.

【解析】

第一个空比较容易，难点在于第二个空。

如何计算该班人数的最小值，最好借助图形进行分析。如下图所示，思想品德和地理重合的人数最多，则班级总人数最少。严格说来，这是高中《集合》章节韦恩图的应用，这个类型在北京高考中也曾出现过，属于高考试题的改编。

填空16题

数学思维解决现实问题

本题答案：便携性。

【解析】

散点图属于高频考点。但是我个人觉得这个空如果能够明确限定一下保温性还是便携性，方便考生对此进行选择，可能会更好。另外，如何判断哪个性能更好呢？这才是这道题要考察的目标。可以做出直线y=x，看看各个性能对综合质量名次的贡献，即可比较出优势所在。

无论如何，读题、审题都非常重要！

第三部分解答题

解答22题

圆的证明与计算

【解析】

圆的小综合，在量的积累的基础上，需要进行熟练掌握。总有一些成绩好的考生在这个题型上耽误时间，要么费了好大劲终于克服困难做出来了，要么是费了好大劲还是无功而返，哪一种情况出现都不是好现象。

解答23题

一次函数与反比例函数

【解析】

这道题目还是有一定难度的。第一问比较简单，难就难在第二问，具体来讲，是不太好画图，因此也就不容易得出具体的数学表达式进行计算分析，建议考生拿出直尺慢慢移动，在此过程中，可以借助几何直观，拿出铅笔轻轻划线找到恰当的位置之后再进行分析——除此之外，没有更好地办法。

如图所示，分两种情况进行讨论：

当a>0时，O'(a,a),A'(a,a-2),P(a,4/a),

则可得：a≥4/a,a-2≤4/a;

当a<0时，O'(a,a),A'(a,a-2),P(a,4/a),

则可得：a≥4/a,a-2≤4/a;

细心地读者会发现，解不等式其实都是一样的，仅仅是a的正负不同，据此可以得出标答的正确答案，具体过程从略。

第四部分压轴题

解答26题

代数压轴题

【解析】

这道试题第一问很容易，B(4,-3)。第二问，相比于东西海三区，难度最大。主要是这个动态过程不太好把握，逻辑推理和几何直观高度配合，对草图的精确度还有一定的要求。

先分析最简单的情形，即顶点恰好落在线段AB上时，此时a=1，如下图所示，满足要求。当然，考生也可以依据极限位置分析，当顶点在y轴正方向无穷远处时，无论怎样翻折都，新图像都不可能与线段AB有两个公共点。当顶点往下移动时，首先可能满足要求的就是顶点落在线段AB上这种情况。

当顶点继续向下运动，如下图所示，新图像与线段AB有三个公共点，不满足要求。

当顶点继续向下运动，如下图所示，当原抛物线经过点A时，第一个临界位置出现，此时a=0，显然，这个值不可能取等号，下面的分析也可以帮助考生理解这里为什么不能取等号。

抛物线继续往下移动，原函数图象与y轴交点落在点A下方时，满足条件的情形出现，此时，a-3<-3，即a<0。当抛物线继续向下运动时，下一个临界位置出现在什么位置呢？

当抛物线继续向下运动，新图像与线段AB的两个交点重合，此时为新的临界状态。如下图所示，此时a=-3，显然，这个临界位置不可取等号。

综上可知，a的取值范围为：-3<a<0或a=1.

【反思】

本题的难点在于动态变化过程中的图形不太好作出草图，而且临界位置又需要同时分析几何直观和计算推理，无形之中都增大了解题的难度。

试题的形式一旦发生变化，考生就会觉得难度增加，越是这样的时候，就越考验考生“基本动作”的熟练程度，如果平时的解题经验和心得体会不能内化到自己的思维模式当中，不能融化在血液里，那一定会为题海战术付出代价。

有些时候，这些反复强调的思考方式，虽然不能与生俱来，但是真的希望能够融入到血液之中，挥之不去。这可能就是数学学习过程中，最有价值的东西了吧。

解答27题

几何压轴题

【解析】

朝阳的几何综合题，题干短小精悍，背景图形是等腰直角三角形，貌似难度不大，但是以为辅助线的作法如果不熟悉，可能不大好入手分析。

补全图形如下图所示。结合题意，点D有两个位置均可满足题意。

(2)问，计算α的值，几何直观轻松可得答案为30°。那么如果证明呢？需要作出辅助线进行分析，辅助线的作法如下图所示。可知四边形AEFD为矩形，AE=DF。因为BC=2AE，则BD=BC=2AE=2DF，则Rt△BDF中可求得∠DBF为30°。

同理可得α的另一个值为150。

这个小问题有两个特点：一个是需要分类讨论，一个是角度的分析是通过计算得到的。希望考生能够重视这个问题的分析方法。

(3)若AB=2，求AD的长度，依然也需要分类计算，结合上一问的结论，解简单的直角三角形，这最后一问“一点都不难”，这么说，不知考生是否觉得委屈？

解答28题

新定义压轴题

【解析】

朝阳的新定义综合题依然是“距离”。各个区县在“距离”定义上不厌其烦的考，考生一定也不都会觉得陌生。本题这个定义的格式，历史悠久，也是一道老的不能再老的新定义题目了，伴随着北京中高考的改革一路走来，“折磨”了一届又一届的考生，高中生、初中生无一幸免幸免。这类试题，对思维品质要求非常高，作出正确答案比较容易，但是要让考生甚至新手老师讲清楚、说明白却也并不容易。

“直角距离”也叫做“出租车距离”，理解定义的关键在于这个距离是两个数据的“和”，是两个点向坐标轴作垂线组成的直角三角形的两条直角边的长度之和。

第（1）问，帮助考生理解定义的送分题。

第（2）圈1，这是这道题目的关键部分，承上启下。分析时，需要采取一定的步骤。直线被坐标系四个象限分成了三段，分别分析当点D位于直线在第四象限部分、直线在第二象限部分和直线的第一象限部分，如下图所示。

第（2）圈2，需要重新理解圈1的解题经验。在圈1中，d(O,B)的最小值恰恰出现在点O的正上方，这是不是巧合？

思维链条比较长的题目，为了说得清楚，需要把思维放慢，链条分段，依据条件不断获取更多信息。我们需要分为三个步骤来处理这个问题。

第一个步骤：如下图，不失一般性，在圆O上任意取定一点C，观察点B在直线上运动时，d(B,C)的最小值如何求？当点B为任意一点B1时，对应的d(B,C)为Rt△B1CE的两条直角边的长度之和，当点B位于点C正上方的B0时，此时d(B,C)的值为线段CB0的长度，显然，CB0的长度应该小于Rt△B1CE的两条直角边的长度之和（为什么？），于是当点C位置确定时，过点C作x轴的垂线与直线交于点B及为所求，此时d(B,C)取最小值。

第二个步骤：当点C在圆O上运动时，又该如何分析呢？由上面分析我们知道，d(B,C)的最小值其实就是当CB平行y轴时的CB0的长度，那么CB0和哪个数值有关呢？如下图，过点C向直线作垂线垂足为H，显然，CB0的长度和垂线段CH的长短有关。因为∠CB0H的大小是固定的，所以当CH最小值，CB0的值也最小。

第三个步骤：那么，CH什么时候取到最小值呢？这里用到一个典型的最值模型。过原点O向直线作垂线，此时的CH最小（为什么？），于是CB也最小，即d(B,C)取到最小值。结合基本直角三角形三边关系，可以求得此时的最小值，计算过程如下图所示。

【反思】

新定义试题的解题方法之前的试题解析中反复讲过多次，在《北京中考数学压轴题解题方法突破》中也详细介绍过，在此就不再赘述。考生要想将此题完全弄明白，或者检验考生是否真正理解了分析的思路和思维的方法，我觉得最直接、高效的就是进行一下变式训练，可以从两个角度进行思考：

变式一：(2)圈1中将固定直线改为过定点(-2,3)的直线，为了降低难度，可以限定直线不经过第四象限，点B是此动直线上任意一点，求d(O,B)的最小值。提示：精确的答案需要结合直线斜率k值进行表达；此处可以只分析思维过程，而不必写出具体答案。

变式二：(2)圈2中将直线的一次项系数中的负的四分之三，改成正的三分之四，其余条件不变，看看是否还能够分析出正确的最值情形？提示：此处需要写出精确的答案。

如果考生果真是理解并掌握了原题的分析方法，而不是看答案之后“恍然大悟”，那么自然可以轻而易举地解决这两个变式训练。自命不凡的高水平选手们，敢接受挑战试一试么？

题外话：最近两天多个数学群都在讨论这个“距离”题目，但是都没有见到关于此题前世今生比较准确的阐述。这样的“距离”，最初见于2010广东高考数学理科卷压轴试题，以“折线距离”出现，2014年福建高考中也作为选择题压轴题出现。广东2010年高考之后，紧接着在2011年1月份的期末考试当中，海淀西城都对其青睐有加，北京其他区县随后进行改造的题目也层出不穷。到了高中，这个类型的题目也会碰到，躲是躲不过的。

第五部分总结与题外话

1. 朝阳这份试卷整体难度还是有的，比如填空题的最后两道题，圆、代数压轴题、几何压轴题、新定义压轴题。

2. 做过的题目，看着眼熟的题目，是否真正理解，只需要将题目稍微进行变化，稍加创新，自然可以检查出考生理解的程度，这份试卷在这个方面做得很好，比如代数综合题，新定义综合题等。

3. 北京考题，在关键题型、题号上，往往是拒绝进行题海战术的，命题专家在这个地方苦心孤诣进行试题的命制，希望用最佳试题检测出考生的思维品质，因此，我们在备考的时候就一定要注意通性、通法的理解和掌握，要注重解题思路和技巧的归纳与总结，确保知识点上无漏洞。“故用兵之法，无恃其不来，恃吾有以待之，无恃其不攻，恃吾有所不可攻也。”用兵法则是不要寄望于敌军不会来侵犯，而应依靠自己有充分的准备,严阵以待；不要寄望于敌军不会来进攻，而要依靠自己坚固的防守，攻不可破。这句话对于高水平考试备考高分满分也是一样的道理，只有考前备考充分，知识体系和方法技巧总结的完备，才可以达到“胜兵先胜而后求战”的要求，而不是相反的“败兵先败而后求胜”的被动局面。

4. 考试的最高境界，是会做的题目不出错。不要轻易说“我会的”、“我马虎了”，十五岁，是要为自己的失误付出代价的年龄，也是要知道有一种心痛叫做“遗憾”的年龄。你会不会没关系，失误了就是做错了，扣分也是应该的，机会只有一次，就看你能不能把握住！

内容简介

第四版

《北京中考数学压轴题解题方法突破》

本书是北京市第一本运用解题理论、采用“编年体”形式对中考数学压轴题的应试策略、分析方法和解题思路进行透彻解析的专业书籍.

对于中考解答题中的几何综合题、新定义类型综合题、代数综合题，以及操作与实践、推理与探究等以“生成性资源”为背景的解答题，选用最能反映命题趋势的经典试题，进行深入解析，注重解题经验的传授与解题能力的提升，帮助考生养成科学的数学思维习惯.同时以微专题的形式兼顾选择题和填空题中的压轴题.

本书可作为初中生中考冲刺用书，亦可作为命题专家、教研员、一线教师和教育界相关人士研究北京中考数学压轴题的参考书籍.

《北京中考数学压轴题解题方法突破》由我与北京四中范兴亚博士共同编写，西城区教育研修院黄婉华老师做序推荐，每年一版，专门指导北京考生进行中考备考冲刺。第一版获当当网新书畅销榜中考数学类第一名。2019年考生专用第四版，各大电商网站均可购买。

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