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等距点

在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．

(1)已知点A的坐标为(-3，1)，

①在点E(0，3)，F(3，-3)，G(2，-5)中，为点A的“等距点”的是________；

②若点B在直线y=x+6上，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为________；

(2)直线l：y=kx-3(k>0)与x轴交于点C，与y轴交于点D，

①若(-1,)，(4,)，是直线l上的两点，且与为“等距点”，求k的值；

②当k=1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M，N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．

(1)已知点A的坐标为(-3，1)，

①在点E(0，3)，F(3，-3)，G(2，-5)中，为点A的“等距点”的是________；

②若点B在直线y=x+6上，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为________；

(2)直线l：y=kx-3(k>0)与x轴交于点C，与y轴交于点D，

①若(-1,)，(4,)，是直线l上的两点，且与为“等距点”，求k的值；

②当k=1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M，N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．

【解析】

又见距离类的新定义。第一问的圈1和圈2，难度都不算大，读懂题意即可得分。

第二问的圈1，两个点四个坐标，如果成为等距点，分类讨论即可，无非是横纵坐标分别相等，一定要注意再验证一下，难度和计算量都不大。

第二问的圈2，需要认真思考。

先来分析线段CD上的任意一点“到坐标轴距离的最大值”的最大值和最小值，当点N位于CD中点时，取得最小值，当点N位于端点时，取得最大值，因此，线段CD上任意一点“到坐标轴的距离”取值范围是大于等于3/2，小于等于3。

再来分析当圆的半径发生变化时，点M“到坐标轴的距离”应该能够覆盖的了3/2到3这个范围。因此，圆上点M的“到坐标轴的距离”的最大值为3/2时，圆的半径为3/2，圆上点M的“到坐标轴的距离”的最小值为3时，圆的半径为3倍的根号2。因此，可得圆的半径。

朝阳区

直角距离

【解析】

朝阳的新定义综合题依然是“距离”。各个区县在“距离”定义上不厌其烦的考，考生一定也不都会觉得陌生。本题这个定义的格式，历史悠久，也是一道老的不能再老的新定义题目了，伴随着北京中高考的改革一路走来，“折磨”了一届又一届的考生，高中生、初中生无一幸免幸免。这类试题，对思维品质要求非常高，作出正确答案比较容易，但是要让考生甚至新手老师讲清楚、说明白却也并不容易。

“直角距离”也叫做“出租车距离”，理解定义的关键在于这个距离是两个数据的“和”，是两个点向坐标轴作垂线组成的直角三角形的两条直角边的长度之和。

第（1）问，帮助考生理解定义的送分题。

第（2）圈1，这是这道题目的关键部分，承上启下。分析时，需要采取一定的步骤。直线被坐标系四个象限分成了三段，分别分析当点D位于直线在第四象限部分、直线在第二象限部分和直线的第一象限部分，如下图所示。

第（2）圈2，需要重新理解圈1的解题经验。在圈1中，d(O,B)的最小值恰恰出现在点O的正上方，这是不是巧合？

思维链条比较长的题目，为了说得清楚，需要把思维放慢，链条分段，依据条件不断获取更多信息。我们需要分为三个步骤来处理这个问题。

第一个步骤：如下图，不失一般性，在圆O上任意取定一点C，观察点B在直线上运动时，d(B,C)的最小值如何求？当点B为任意一点B1时，对应的d(B,C)为Rt△B1CE的两条直角边的长度之和，当点B位于点C正上方的B0时，此时d(B,C)的值为线段CB0的长度，显然，CB0的长度应该小于Rt△B1CE的两条直角边的长度之和（为什么？），于是当点C位置确定时，过点C作x轴的垂线与直线交于点B及为所求，此时d(B,C)取最小值。

第二个步骤：当点C在圆O上运动时，又该如何分析呢？由上面分析我们知道，d(B,C)的最小值其实就是当CB平行y轴时的CB0的长度，那么CB0和哪个数值有关呢？如下图，过点C向直线作垂线垂足为H，显然，CB0的长度和垂线段CH的长短有关。因为∠CB0H的大小是固定的，所以当CH最小值，CB0的值也最小。

第三个步骤：那么，CH什么时候取到最小值呢？这里用到一个典型的最值模型。过原点O向直线作垂线，此时的CH最小（为什么？），于是CB也最小，即d(B,C)取到最小值。结合基本直角三角形三边关系，可以求得此时的最小值，计算过程如下图所示。

【反思】

新定义试题的解题方法之前的试题解析中反复讲过多次，在《北京中考数学压轴题解题方法突破》中也详细介绍过，在此就不再赘述。考生要想将此题完全弄明白，或者检验考生是否真正理解了分析的思路和思维的方法，我觉得最直接、高效的就是进行一下变式训练，可以从两个角度进行思考：

变式一：(2)圈1中将固定直线改为过定点(-2,3)的直线，为了降低难度，可以限定直线不经过第四象限，点B是此动直线上任意一点，求d(O,B)的最小值。提示：精确的答案需要结合直线斜率k值进行表达；此处可以只分析思维过程，而不必写出具体答案。

变式二：(2)圈2中将直线的一次项系数中的负的四分之三，改成正的三分之四，其余条件不变，看看是否还能够分析出正确的最值情形？提示：此处需要写出精确的答案。

如果考生果真是理解并掌握了原题的分析方法，而不是看答案之后“恍然大悟”，那么自然可以轻而易举地解决这两个变式训练。自命不凡的高水平选手们，敢接受挑战试一试么？

题外话：这样的“距离”，最初见于2010广东高考数学理科卷压轴试题，以“折线距离”出现，2014年福建高考中也作为选择题压轴题出现。广东2010年高考之后，紧接着在2011年1月份的期末考试当中，海淀西城都对其青睐有加，北京其他区县随后进行改造的题目也层出不穷。另外，北京高考对于“距离”的考察，曾推广到了n元有序数组之中，作为创新题出现在理科卷的压轴题位置。

通州区

对称

【解析】

此类试题单纯的考察“对称”，需要首先通过做草图的方式寻找解题思路，然后再结合分析其数量特征，也即确定点的坐标。最后两个问题，可以借助下面的图示进行分析。

此类对称问题的分析，本质上也是动态变化的分析，因此，依然可以遵循动态类试题的解题通法、解题原则进行。

另外，关于这样的对称，还可以借助2019年朝阳一模的一次函数与反比例函数的综合题进行对比分析（2019年朝阳中考一模数学试题深度解析）。

请考生思考一下，解决动态问题的一般原则和方法是什么？自己是否在不同的题目中进行对比、并对分析方法不断进行总结归纳呢？是否在随后的练习之中再次进行检验呢？

西城区

平衡点

【解析】

最后一问的突破点在于如何利用“弧HK上的任意两点都是圆C的一对平衡点”，为此，考虑特殊情况，即找三个特殊点，如图所示，三个特殊点分别为切点S，端点H和K，具体可知，需使得线段ST=HM=KN=4，可得满足条件时必有CH≤6且CK≤6。

请考生思考一下，在处理前所未见、无从下手的问题时，自己是如何寻找突破口的呢？这样的处理方法在分析解决新定义题目中是否都是适用的呢？处理这样不可预见的难点如何准备才算是未雨绸缪？

石景山区

正方距

【解析】

石景山这道题第一问很简单；第二问，我个人的感觉是表述的不够精确，取最小值到底是一种什么样的情形，值得细细推敲；最后一问，属于传统的考察，半径一定的动圆，如下图所示的临界位置，图中黄色的直角三角形时分析和计算的关键。

丰台区

等边依附点

【解析】

最后一问属于难点，据传这个题目有两个版本的标准答案。正确标准，应该是上面的这个答案。如何分析这个问题？关键还是要充分理解题意，而要使得分析显得“一目了然”，还需要一些技巧。本题，圆上的点是动点，线段长度不确定位置更是“飘忽不定”，无形之中使得分析显得困难，如何做出这个等边三角形就是关键之中的关键。

如下左图，当圆的半径相对于线段长度足够小时，显然，满足条件，圆上任意一点都可以成为线段的“等边依附点”，因此，可以确定线段的长度上限是无穷大。

如下右图，当圆的半径相对于线段长较大时，必然不能保证圆上的任意一点都成为线段的“等边依附点”，因此，圆的半径不可能无限小。

所以，我们需要求出线段长度的最小值。

如下图所示，当线段长度从小到大变化的过程中，存在如下临界状态，考生可以借助这个图形进行理解分析。

同时，考生要思考一个问题，图中这个位置求出的线段长是否可以取到？即不等号是否可以取到等号？为什么？是否可以借助题干信息或者图示进行说理？更进一步，是否可以从几何直观上一目了然的感知到临界的情形是否包含等号？

房山区

关联整点

【解析】

本题难度不大，结合下面两幅图可以比较容易解决最后两个小问题。

门头沟区

关联点

【解析】

本题在分析时，对作草图也有比较高的要求。最后一问，作图的关键是搞清楚点P的位置，点P在圆上，这个条件需要继续加强，不然分析起来有难度。

密云区

直角距离

在平面直角坐标系xoy中，已知P(x1，y1)Q(x2，y2)，定义P、Q两点的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和为P、Q两点的直角距离,记作d(P，Q).

即d(P，Q)=|x2-x1|+|y2-y1|

如图1，在平面直角坐标系xoy中，A（1，4），B（5，2），

则d(A，B)=|5-1|+|2-4|=6. 

（1）如图2，已知以下三个图形：

 ①以原点为圆心，2为半径的圆；

 ②以原点为中心，4为边长，

  且各边分别与坐标轴垂直的正方形；

③以原点为中心，对角线分别在两条坐标轴上，对角线长为4的正方形.

     点P是上面某个图形上的一个动点，且满足d（O，P）=2 总成立.写出符合题意的图形对应的序号________.

（2）若直线 上存在点P使得d（O，P）=3，求k的取值范围.  

（3）在平面直角坐标系xoy中，P为动点，且d（O，P）=3，圆心为M（t，0），半径为1.  若上存在点N使得PN=1，求t的取值范围. 

【解析】

这类试题，属于传统的模仿性试题了，非常适合考生拿来练手，最后两问，可以借助下面的两幅图进行分析。需要说明的是，有不少新定义的综合题，在分析参数的取值范围是，有四个临界位置，这时，需要注意一些计算的技巧，尽量减少计算量。

考生思考一下，本题的分析方法自己此前是否曾经遇到过？四个临界值的问题，不同题目的相同之处是什么？如果回答“否”——那么，我可以很客观——但绝不是冷漠——地告诉你，你为中考新定义做的准备远远不够或者说，你的努力跑偏了。如果你想挑战高分满分，需要找对方向、加把劲儿了！

平谷区

等距点

对于平面直角坐标系xoy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作d（P,Q）．已知点A（4,0），B（0,4），连接AB．

（1）d（点O，AB）=        

（2）⊙O半径为r，若d（⊙O，AB）=0，求r的取值范围；

（3）点C（－3，－2），连接AC，BC，⊙T的圆心为T（t，0），半径为2，d（⊙T，△ABC），且0<d <2，求t的取值范围．

【解析】

本题最后两问，可以参照下面的两幅图进行。最后一问，依然是四个临界位置，如果考生做了此题，可以参照密云的题目对比分析，体会四个临界位置的区别与联系。

顺义区

似中点

【解析】

第一问的标答，是不是搞反了？

第二问的圈1，作出线段MN的垂直平分线，计算其与坐标轴的交点坐标即可，难度也不大，计算也不复杂。

最后一小问，动圆问题，难度不大，分析的关键是使得动圆与MN的垂直平分线有交点即可，据此可以确定圆心的坐标。

延庆区

视角

【解析】

本题之中，动圆T的圆心在x轴上，且半径恒为1。

第一问圈1，比较容易，送分题；

第一问圈2，需要认真分析，算是对“视角”概念的进一步理解，分析的关键是当直线上的点满足什么条件时，才可以取到“视角”。通过分析，不难发现，当点距离圆心最近时，恰恰就是确定“视角”出现的点。过圆心向直线作垂线即可求得结果。

燕山区

称心点

【解析】

此题属于传统的、典型的新定义类型。读题的关键是获取信息，获取“称心点”的判定条件——r/2≤PM≤3r/2.

第一问的圈2，可以参照下图高清大图进行分析。

最后一问，依然是四个临界位置，如下图所示，可以通过几何直观和解直角三角形求解。

大兴区

水平正三角形

【解析】

本题的难点在于最后一问，最后一问的分析需要借助草图进行，考生在考场上只需用铅笔直尺进行作图，找到临界位置即可。另一方面，也需要考生在计算等边三角形时，需要对边的比例关系、对应顶点的坐标有比较灵活的处理方式。借助下面三个临界图形，可以求出6个临界点的横坐标。

考生可以继续思考：为什么会是三种情形？是如何想到的？每种情形下的临界位置在作图时是借助什么进行确定的？这样的分析方法具备一般性么？

怀柔区

直角点

【解析】

第二问，需要注意大圆的半径，据此进行分析。

第三问，依然是解三角形，如果对几何特征理解的比较好，解三角形就会既快且准，而这个能力是可以通过训练达到的。

海淀区

基准距离

【解析】

难点在于最后一个小问题，分析的关键在于“n的最大值等于6”，据此可以列出下列不等式：

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