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北京中考的代数综合题，也就是倒数第三题，近几年命题形式稳定，考察内容明确，在此次各区的一模试题中，此类试题难度参差不齐，不少考生对待此类问题的时间分配和应得分数并不尽如人意。

函数板块，在北京中考中具有鲜明的特色，近几年北京中考试题在函数试题的命制方面持续不断进行尝试，而二次函数又是函数部分的重中之重。这篇文章，对2018年的北京中考真题进行解析，试图通过对典型试题的分析，帮助考生更好地理解和掌握此类试题的考查内容和解题通法。

代数压轴题

2018年北京中考

【题目】

在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x＋4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2＋bx－3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C.

（1）求点C的坐标；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.

【读题】

代数综合题的解答，读题过程中要达到以下几个目的：

1. 题干和设问是否与平时的练习是否相似？是否有未曾“见过”的创新形式或者问题出现？通过读题需要大致确定题目的类型和难度。此之谓“模式识别”。

2. 题干与设问是否有容易出错的“陷阱”，比如二次三项式的二次项系数是否存在为零的情形？与坐标轴的交点是否确定是x轴抑或是y轴？是否有备注的小括号？此之谓“风险预控”。

读题的并不仅仅单纯地从题干获取必要的信息，还包括凭借考生积累的解题经验辨别类型、规避风险，并进一步恰当合理地制定解题策略和进行时间规划。

本题题干信息量还是“蛮大”的，要注意每个点对应着哪个函数图象。

【分析】

题干交代了一次函数与坐标轴的两个交点，以及与y轴交点向右平移得到C点。（1）和（2）都是比较简单的类型，属于“送分题”，而且也不会花费很多时间。

（3）是平时模拟试题中出现的高频考点——抛物线与水平线段的交点问题，考生也比较熟悉这种题型常见的解题思路，需要注意的是，本题抛物线解析式二次项系数的不确定，需要进行分类讨论，建议考生从最简单的、最熟悉的情形入手进行分析，先拿容易拿到的分数，在积累解题经验和获得“保本分数”的基础上，再进行较难类型的分析。

【反思】

1. 北京市近几年的代数综合题，几个小问题的设置都是由易到难，通常都是考察一次函数、二次函数解析式的系数特征、图象与坐标轴交点的对应关系、二次函数的对称轴与顶点等核心考点，以及抛物线图象轴对称的性质、开口大小|a|的关系。

2. 除了对基础知识、基本技能的考察之外，此类问题是通过二次函数这个载体，在更高层次上考察考生对于数形结合和分类讨论等数学思想的理解和掌握情况。因此，考生在备考期间，尤其要重视数学思想的运用。

3.  抛物线与一条水平线段的交点问题，是2017年、2018年各区模拟试题中的高频考点，因此，从另一个方面要求考生，要重视各城区的模拟试题，这不是要求考生多做题，而是要求考生在备考期间端正态度，注重总结常见题型、核心考点的解题思路。尤其要重视：对称的应用、做草图分析、动态分析的原则、特殊位置分析、范围端点单独分析，等等。

4. 此类试题，有时就会和根的分布综合在一起。根的分布问题，是（二次）函数部分的重点内容，这样的题型，你可以说知识点是高中的知识点，不过分析的方法是初中的方法——这算不算擦边球？

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