北京小学奥数：两种新方法巧解“牛吃草问题”-致那些年被坑过的神题

有一位家长联系谷老师，希望能作一次“牛吃草问题”专题。他说，不光他小孩无法理解现有的解法，他自己(985理科毕业的)也一样很迷糊。

首先感谢这位家长的对我们的认可和信任。为了不辜负这位家长的期望，本期谷老师通过对“牛吃草问题”的梳理，以自己的想法提炼出几种更为容易理解的方案，希望能帮到这位家长及所有对这类问题迷糊的朋友。

每天叫醒你的不是闹钟，而是梦想和态度

难易指数：★★★★★

适宜对象：小学培优

本期编号：D00017

计算：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，期间一直有草生长。如果供给25头牛吃，可以吃多少天？

思路分析

“百度百科”上总结，解决"牛吃草问题"常用到四个基本公式，分别是:

1) 草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数－吃的较少天数);

2) 原有草量=牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数;

3) 吃的天数=原有草量÷(牛头数－草的生长速度);

4) 牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。

不知道为什么，看到这些公式，谷老师就头大，也难怪那位家长抱怨迷糊了。而且这里面有个关键的点未说清楚：

需设1头牛1天吃1份草，草生长的速度和草量都是基于此速度换算的。

解答1：(套用公式法)

1）套用公式1，草的生长速度为：

(10×22 - 16×10) ÷ (22-10) = 5

2）套用公式2，原有草量为：

10×22 - 5×22 = 110

3）套用公式3，25头牛吃的天数为：

110 ÷ (25 - 5) = 5.5

因此，答案为：5.5天

总结：目前，网上的方法都是针对上述公式作的或深或浅的变化，由于篇幅有限，就不一一表述了。

解答2：(同化条件法)

我们将原题，标记为如下两个条件：

1）10头牛，22天吃完

2）16头牛，10天吃完

这时，如果将上述两条件改为：

3）10头牛，先吃10天就走了；后来又来了6头牛吃了10天，然后又来了4头牛也吃了10天，吃完后都走了；最后又来了10头牛吃了2天，刚好吃完。整个过程草先生长10天，后又生长12天。

4）10头牛，吃10天；另外6头牛吃10天，刚好吃完，草生长10天。

上述分析如果你还不明白，请看下图说明：

根据上述分析，把相同条件去掉后，可以得出：12天生长的草，恰好能被“4头牛吃10天+10头牛吃2天”，因此：

草的生长速度为：(4×10+10×2)÷12=5。

原草量为：16×10-5×10=110。

故，25头牛吃的天数为：110 ÷ (25 - 5) = 5.5(天)

解答3：（增量相等法）

设25头牛吃的天数为x，根据题意，变化关系如下所示：

（10，22）--->（16，10）--->（25，x）

由于草的生长速度不变，我们可以列如下方程：

于是，可解得x=5.5(天)

有些朋友是不是对上述解法眼熟？这就是对高等数学中大名鼎鼎的“拉格朗日中值定理”的特殊理解！

总结

1）草是随着时间增长的，草的增长速度是不变的。

2）1头牛1天吃的草设为1份。

3）分析整个过程的变化。

同类拓展：

1. 分别用上述方法解答下题。

某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4 个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？

答案：12分钟

2. 经测算，地球上资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300 年。假设地球新生资源速度一定，那么为满足人类不断发展需要，地球最多能养活多少亿人？

答案：70亿

3. 本题还有别的解法，敬请留意本公众号后续推送的内容。