北京小学奥数：史上最精彩的“逻辑推理”(强盗分赃)

“逻辑推理”是一种综合应用题，考察学生对题意的理解能力，对细节的把握能力，及面对问题的分析能力。我们要想正确地解答这类题，不光需要运用课本所学知识，还需要对日常生活中常见问题进行思考和总结。本期谷老师通过分析“强盗分赃”问题，来讲解这类题的注意事项。

每天叫醒你的不是闹钟，而是梦想和态度

难易指数：★★★★

适宜对象：小学培优

本期编号：D00021

示例1：有五个强盗抢得100枚金币，在如何分赃问题上争吵不休。于是他们决定：

(1)抽签决定各人的号码(1，2，3，4，5)；

(2)由1号提出分配方案，然后5人表决，如果方案超过半数同意就被通过，否则他将被扔进大海喂鲨鱼；

(3)1号死后，由2号提方案，4人表决，当且仅当超过半数同意时方案通过，否则2号同样被扔进大海；

(4)依次类推，直到找到一个每个人都接受的方案(当然，如果只剩下5号，他当然接受一人独吞的结果)。

假定每个强盗都是经济学假设的“理性人”，都能很理智地判断得失，作出选择。为了避免不必要的争执，我们还假定每个判决都能顺利执行。那么，如果你是第一个强盗，你该如何提出分配方案才能够使自己的收益最大化？

思路分析

为了使自己的利益最大化，每个强盗的思路应该都是这样的：

1、尽可能保住自己的性命；

2、尽可能得到更多的金币；

3、尽可能杀死更多的同伙。

解答

5个强盗的思考逻辑如下所示：

因此，1号的最佳金币分配方案是：

(97，0，1，2，0)或(97，0，1，0，2)

而2号的分配方案是：(98，0，1，1)

然而事情并没完！

如果又新来了一个强盗甲呢？如何分配？

新来的强盗会想：

于是，其最合理的分配方案是：

(94，0，1，2，3，0)或(94，0，1，2，0，3)

思考下：下述分配可以吗？

(96，0，1，2，0，1)或(96，0，1，2，1，0)

此时，如果又来了个强盗乙呢？

强盗乙想：

所以，强盗乙最合理的分配方案是：

(94，0，1，2，3，0，0)

又来了强盗丙和丁？

都什么世道了，还这么多强盗？?

依据上面的分析，我们将会得到下面的结果：

丙：(90,0,1,2,3,4,0,0)或(90,0,1,2,3,0,4,0)或(90,0,1,2,3,0,0,4)

丁：(90,0,1,2,3,4,0,0,0)

一大波强盗来袭

后面又来了n个强盗呢？

根据前面的分析，可归纳为，任意一个强盗n(n≥6)：

n为偶数：

(100-1-2-3-……-n/2, 0,1, 2, 3, ……,n/2, 0, 0,…… )

其中，最后的0都可以换成n/2。

n为奇数：

(100-1-2-3-……-(n-1)/2, 0,1, 2, 3, ……,(n-1)/2, 0, 0,……)

总结

1）逻辑推理，需要对问题进行全面的思考，把握好所有的细节。

2）头脑灵活，不拘泥于某一场景。

3）还需要反过来验证推断结果是否合理。

同类拓展：

1. 示例1的分析，会不会有意外？如果4号的金币分配方案是：轮到自己时，将所有金币给5号呢？

2. 阿凡提“九死一生”：

古时候有个残酷的国王，十分嫉妒阿凡提的聪明才智。有一次他抓住了阿凡提，一心想整死他，但又顾及到体面，就故意想了一个自认为天衣无缝的办法。

他对阿凡提说：你现在可以说一句陈述的话，但是如果你说的是真话，我将用绞刑架吊死你，如果你说的是假话，我将用油锅炸死你。结果阿凡提说出一句话，国王拿他一点招也没有。问：阿凡提说的是一句什么话？

答案：国王要炸死我。

3. 神仙指路：有个智者去找神仙，走到一个三岔路口，不知道往左走还是往右。路口边站着两个天使，他俩一个永远说真话，另一个永远说假话，现在要求这个智者只能向其中一位天使问一句话，就确定神仙的方位。请问：这个智者怎么问才能有结果？

答案：随便对其中一位天使说：如果我问那位天使神仙在哪边，他会说哪边？

4. 有天夜里5个强盗A、B、C、D、E抢到一大堆金币（金币个数不超过n个，n<=100000000），可是怎么也无法平均分成5份，吵吵嚷嚷……

吵累了，只好先睡觉，准备第二天再分。

夜深了，一个强盗A偷偷爬起来，先拿了一个金币私下放自己口袋藏好，再将金币分为5等份，将自己的那一份再私藏好就去睡觉了。

随着第二个强盗B也爬起来，也是私拿了一个金币再分5等份，也私藏起自己那份就睡觉去了。

后来的三个强盗C、D、E也都是这样办的。

问最初有多少个金币？

答案：至少3121个，可设最初金币为x个，可得：

A = 4(x-1)/5

B = 4(A-1)/5 = 4(4x-9)/25

C = 4(C-1)/5 = 4(16x-61)/125

D = 4(C-1)/5 = 4(64x-369)/625

E = (C-1)/5 = (256x-2101)/3125

E必须为正整数，设为n，则：

x = (3125n+2101)/256，化简后

x = 8+12n+53(1+n)/256

因此，只要满足53(1+n)被256整除即可，n至少为255，于是x至少3121(个)