北京小学奥数：“和差问题”，是如何让孩子迈向新台阶的

“和差问题”是一种涉及到两个元的问题，已知条件通常是它们的“和”、“差”，这类题通常都会和“倍数”结合起来。本期谷老师通过一道典型的“和差问题”，来讲述解答这类题应注意的事项。

每天叫醒你的不是闹钟，而是梦想和态度

难易指数：★★★

适宜对象：小学培优

本期编号：D00027

示例1：有两个数，它们之和是150，其中第一个数比第二个数小10，求这两个数。

思路分析：

这是典型的“和差问题”，它们两之间的已知条件分别是“和”和“差”，大家总结出来的解答公式如下所示：

大数 = (和+差) ÷ 2

小数 = (和-差) ÷ 2

解答1（套用公式）

我们将上述公式套进来如下所示：

大数 = (150+10) ÷ 2 = 80

小数 = (150-10) ÷ 2 = 70

那么，聪明的你一定会问，为什么要这么做呢？

       精彩还在后头！    

解答2（假设法）

现在我们假设这两个数相等，分别为：75、75，由题意知，小数比大数小10，则：

小数 = 75 - 10 = 65

那么此时，两数之和为：65 + 75 = 140

很明显，和比原来的150，小10，因此我们需要将10“平分”到这两个数中，于是有：

大数 = 75 + 10/2 = 80

小数 = 65 + 10/2 = 70

是不是和上述的公式得出来的结果一样呢？

“假设法”是化解多元问题的好方法，应用详见：

D00025期：复杂的“年龄问题”

D00024期：鸡兔同笼问题

D00001期：相遇问题

解答3（数形结合）

在数轴上，我们分别将大数、小数、和、差的关系表示出来：

从图中，很明显可以看出来：

大数 = （和+差)÷2 = (150+10)/2 = 80

小数 = （和-差)÷2 = (150-10)/2 = 70

这是不是就是上述公式呢？

后面还有更加精彩的！

示例2：有三个数，它们之和是150，其中第一个数比第二个数小10，第二个数比第三个数小10，求这三个数。

解答（假设法）

现在我们假设这三个数相等，分别为：50、50、50，由题意知：

第1个数 = 50 - 10 = 40

第3个数 = 50 + 10 = 60

那么此时，三数之和为：40 + 50 + 60 = 150。

于是三个数分别为：40、50、60。

这么简单吗？我们不得不怀疑！

那么我们将题目改下，第2个数比第3个数小4，其它都不变。

同样，有：

第1个数 = 50 - 10 = 40

第3个数 = 50 + 4 = 54

那么此时，三数之和为：40 + 50 + 54 = 144。

显然此时，“和”比原来的150少了6，现在我们将6平分到这三个数中，于是这三个数为：

第1个数：40+2 = 42

第2个数：50+2 = 52

第3个数：54+2 = 56

1）此题如何进行推广，如果是4个数、5个数、6个数呢？

2）任何一种方法，如果不是通用的方法，就不算是好方法！

3）请问，用前面的数形结合，怎么推导解答三个数的“和差问题”公式。

总结

1）总结公式的同时，要理解公式怎么来的。

2）加深对“假设法”的理解。

3）学会怎么利用“数形结合”的思想解答数学题。

同类拓展：

1.变形：果园共260棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树多20棵．桃树和梨树各有多少棵？

答案：140、120。

2.创新训练：有一种小虫，每隔2秒钟分裂一次。分裂后的2只新的小虫经过2秒钟后又会分裂。如果最初瓶中只有1只小虫，那么 2 秒后变 2 只，再过 2 秒后就变 4只…… 2 分钟后，正好满满一瓶小虫。现在这个瓶内最初放入2 只这样的小虫。经过多长时间，正巧也是满满一瓶小虫?

答案：118秒。

3.能力提高：甲、乙、丙三个数的和是105，甲数比乙数多 4，乙数比丙数多 4，求丙数。

答案：39。