北京小学奥数：巧解高级“牛吃草问题”

英国著名的物理学家牛顿曾编过这样一道题目：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，期间一直有草生长。如果供给25头牛吃，可以吃多少天？

这种类型的题目就叫做牛顿（牛吃草）问题，亦叫做消长问题。前期我们已经讲述过这类题的解答方法：

D00017期：牛吃草问题（2种新方法）

本期谷老师通过一类较为高级的“牛吃草问题”，来加深大家对这类题的理解。

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难易指数：★★★★★

适宜对象：小学培优

本期编号：D00028

示例1：20头牛，吃30公亩牧场的草15天可吃尽，15头牛吃同样牧场25公亩的草，30天可吃尽。请问几头牛吃同样牧场50公亩的草，12天可吃尽?

思路分析：

取30、25和50的最小公倍数300，所以原题等价于“300公亩的牧场可供200头牛吃15天，可供180头牛吃30天，那么可供多少头牛吃12天”。

解答

根据上述分析，原题等价于“300公亩的牧场可供200头牛吃15天，可供180头牛吃30天，那么可供多少头牛吃12天”。于是我们可以用下述的方法来解答：

D00017期：两种新方法巧解“牛吃草问题”

设每头牛每天吃的草量为1，根据“解答3-增量相等法”，有:

（200，15）--->（180，30）--->（x，12）

列方程，如下所示：

(180*30 - 200*15)/(30-15) = (180*30-12x)/(30-12)

可解得x=210，即：300公亩的草可供210头牛吃12天，于是50公亩的草：

可供：210 ÷ 6 = 35头牛，吃12天。

       精彩还在后头！    

示例2：有三片牧场，牧场上的草长的一样密，而且长的一样快，他们的面积分别是3(1/3)（三又三分之一）公顷、10公顷和24公顷。12头牛4星期吃完第一片牧场的草，21头牛9星期吃完第二片牧场的草。多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？

解答

3(1/3)、10、24的最小公倍数是120，将每头牛每周的吃草量看成1份，于是有：

将12头牛4周吃完第一片草地,转化为，432头牛4周吃完120亩草。

21头牛9周吃完第二片草地，转化为，252头牛9周吃完120亩草。

最后把问题转化为120亩草，可供多少头牛吃18周?

同样利用上述方法可解得，120亩草，可供180头牛吃18周。于是，24公顷的牧场，需要：

180 ÷ 5 = 36头牛，18星期吃完。

总结

1）怎么将新的“牛吃草问题”转换为经典的“牛吃草问题”，成为解答这类题的关键。

2）熟练掌握经典的“牛吃草问题”。

同类拓展：

有三块牧场，场上的草一样密，而且长得一样快。他们的面积分别为3公顷10公顷12公顷，第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周，第二块牧场饲养20头牛，可以维持9周。问第三块牧场上饲养多少头牛可以维持24周？

答案：12头牛。