北京小学奥数：一招解决“盈亏问题”，考生失分最多的题目之一！

生活中，我们常常需要分配东西，一般有两种分配方法：按一种方法分配，东西有余称为“盈”；而按另一种方法分配，东西不足称为“亏”。求参加分配的份数和被分配的总量，我们称这种应用题为盈亏问题。

"盈亏问题"为我国古代数学书《九章算术》研究的项目之一。

基本运算公式为：

(盈+亏)÷(两次分得之差)=份数；

(大盈-小盈)÷(两次分得之差)=份数；

(大亏-小亏)÷(两次分得之差)=份数。

这种问题非常贴近生活，也是奥数常考题目之一，更是孩子失分的重灾区。谷老师今天以"盈亏问题"为例，讲述下这类问题的解答方法。

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难易指数：★★★★

适宜对象：小学培优

本期编号：D00003（更新版）

示例：某公司举行会议，全体员工参加，就坐时，如果4人一桌，则剩下有6人没地方坐；而如果6人一桌，则会空出2桌，请问下，该公司总共有多少员工？

思路分析：

这是标准的盈亏问题。可能有不少朋友会想到用解方程的方法，不过这是小学数学应用题，还没学过解方程。这里，首先我们代用上述公式有：

桌子数量为：

(盈+亏)÷两次分得只差 = (6×2+6)÷(6-4) = 9(桌)

于是，人数为：

9×4 + 6 = 42(人)

但是，我们不光需要套用公式解答出这种题，还需要理解公式的意义。下面我们介绍一种解答方法，来帮助大家彻底理解这个公式。

解答1-条件同化法（桌数）

如题可知：

1）针对4人一桌情况，我们先可以将2桌给空出来（同化条件），这样，就会有：2×4+6=14(人)空出来；

2）针对6人一桌情况，如果暂时不考虑空的2桌，很明显按题意，此时6人一桌，将会坐‘满’；

3）于是，就相当于将这14人按2人一桌分配，恰好分完（整除）。

因此，桌数为：14÷2=7(桌)，再加上2个空桌，总桌数为9(桌)。

该公司总员工数为：9×4+6=42人。

示意图如下所示：

请问：上述的分析，我们除了“将2桌空出来”进行条件的同化，还有没别的办法？

“条件同化法”，我们在这一期讲述过：

D00017期：两种新方法巧解“牛吃草问题”

解答2-条件同化法（人数）

如题可知，存在两种情况：“4人一桌，6人一桌”，如果把这两种情况转换为相同条件，那么有：

1）针对4人一桌情况，我们将人数放大3倍（同化条件），这样12人一桌，就会有：3×6=18(人)空出来；

2）针对6人一桌情况，我们将人数放大2倍（同化条件），这样12人一桌，就会差2×12=24(人)；

3）于是，12人一桌，且桌子数一样的情况下，总人数为：(24+18)÷(3-2)=42(人)。

因此，桌数为：42÷6+2 = 9(桌)。

那么请问：解法2为何要放大3倍？解法1和解法2的本质是什么？

温馨总结

1）抓住两次分配的变化，画出示意图。

2）理清思路，分析盈亏变化。

3）有些应用题，从表面看起来似乎不是“盈亏问题”，但认真分析，将条件适当地转化后，可变成盈亏问题进行解答。

同类拓展：

1. 小朋友分玩具，每人分12个，还多出8个；每人分20个，就有2个小朋友没有玩具。请问：有多少个小朋友？多少个玩具？

答案：6个小朋友，80个玩具。

2. 一筐苹果分给若干小朋友，若每人分4个，最后还剩8个，如果说每人分5个，最后还剩余3个。问这一筐苹果有多少个？总共有多少个小朋友？

答案：28个苹果，5个小朋友。