北京小学奥数：最小公倍数经典例题及解析

几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a、b的最小公倍数可以记作[a,b]，自然数a、b的最大公因数可以记作(a、b)，当(a、b)=1时，[a、b]= a×b。如果两个数是倍数关系，则它们的最小公倍数就是较大的数，相邻的两个自然数的最小公倍数是它们的乘积。

本期谷老师通过几道关于“公倍数”的问题，来讲述解答这类题应注意的事项。

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难易指数：★★★★

适宜对象：小学培优

本期编号：D00035

关键词：最小公倍数

示例1：小朋友分水果，三种水果共65个，平均每2个人吃一个桔子，平均每3个人吃一个苹果，平均每4个人吃一个梨子。请问共有多少位小朋友？

思路分析：

小朋友的位数，是2、3、4的公倍数，而2、3、4最小公倍数为12，此时有：

桔子数目：12÷2 = 6(个)

苹果数目：12÷3 = 4(个)

梨子数目：12÷4 = 3(个)

水果最小公倍数为：6 + 4 + 3 = 13

解答

由题意知，实际的水果数目为65个。又根据上述分析知，水果最小公倍数为13，因此，水果的倍数为：

65 ÷ 13 = 5(倍)

故，小朋友的位数为：

12 × 5 = 60(位)

示例2：【易错名题】24名同学面向老师站成一行。老师先让大家从左至右按1，2，3，…依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。现在面向老师的同学还有多少位？

思路分析：

报4的倍数同学有：24÷4 = 6(位)

报6的倍数同学有：24÷6 = 4(位)

4和6的最小公倍数为：12

重复报数的为：24÷12 = 2(位)

解答

根据上述分析，同学位数为：

24 - 6 - 4 + 2 = 16(位)

然而这么做，你就错了！

我们现在再来分析，首先将同学按4的倍数进行编号，如下所示：

将编号为：4、8、12、16、20、24的同学向后转有：

将同学按6的倍数进行编号，如下图所示：

将编号为：6、12、18、24编号的同学向后转有：

故，最终剩下：24 - 6 = 18(位)同学面向老师。

总结

1）理解公倍数、最小公倍数的概念。

2）注意区分最小公倍数和最大公约数。

3）灵活运用最小公倍数解决实际问题。

同类拓展：

1. 暑假期间，五年级的同学参加夏令营活动。人数在40至50人之间，如果六人一组就会多四人，如果八人一组就会少二人。请问参加夏令营活动的有多少人？

答案：50人。

2. “有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”。(孙子-余数问题)

答案：23+105k(k≥0整数)。