北京小学奥数天天见-追及问题之奥数举一反三

追及问题：是指两个在同一方向上运动的物体，其中一个走得快，另一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上走得慢的，这就叫作追及问题。

本期谷老师通过几道示例，讲述下解答这类问题应注意的事项。

每天叫醒你的不是闹钟，而是梦想和态度

难易指数：★★★★

适宜对象：小学培优

本期编号：D00049

关键词：追及问题、奥数举一反三

示例1-基础：已知一辆面包车的速度是每小时行驶60千米，其从“花都”开往“天河”。在面包车出发半小时后，一辆小轿车以每小时84千米的速度从同一地点“花都”开往“天河”，请问经过多长时间，小轿车可以追赶到这辆面包车？

思路分析

"追及问题"我们需要分析如下几个问题：

• 能追上，需要满足的基本条件：慢的走在前面，快的走在后面

• 求解的关键问题：速度差、路程差

• 求解公式：追及时间=路程差÷速度差

[解答]

面包车先出发，其经过半个小时以后，走过的路程为30千米，因此小轿车需要追赶的距离为30千米。

而小轿车一小时能够追赶的路程为：

84-60=24（千米）

因此小轿车追赶上面包车的时间为：

30÷24=1.25（小时）

答：经过1.25小时后，小轿车追赶上面包车。

示例2-环形跑道：环形跑道一圈长为400米，甲、乙两人同时从同一起跑线沿跑道同向而行，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米。问：

(1)甲第一次追上乙时，两人各走了多少米？

(2)甲第二次追上乙时，在起跑线前多少米？

(3)甲第二次追上乙时，两人各走了多少圈？

思路分析

很明显，甲第一次追上乙时，甲比乙多走400米。

甲第二次追上乙时，甲比乙多走800米。

解答

(1)甲第一次追上乙时，两人各走了多少米？

甲和乙的速度差为：

120-100=20(米/分钟)

甲第一次追上乙时，所用的时间为：

400÷20 = 20(分钟)

因此，甲乙各走了：

甲：20×120=2400(米)

乙：20×100=2000(米)

(2)甲第二次追上乙时，在起跑线前多少米？

甲第二次追上乙时，所用的时间为：

800÷20 = 40(分钟)

因此甲走了：

40×120=4800(米)

共4800÷400=12(圈)

所以甲恰好在起跑线上。

(3)甲第二次追上乙时，两人各走了多少圈？

由(2)知：甲走了12(圈)

此时，乙走了：

40×100=4000(米)

乙共走了：

4000÷400=10(圈)

示例2-多人追及问题：有甲、乙、丙3人，甲每分钟走40米，丙每分钟走60米，甲、乙从A、B两地同时出发相向而行，他们出发15分钟后，丙从B地出发去追赶乙。甲、乙先在途中相遇，7分钟后甲又与丙相遇，又过63分钟丙才追上乙，求A、B两地相距多少千米？

思路分析：

根据题意，根据甲、乙、丙三人的相遇情况，画出如下示意图：

解答：

根据上述分析，乙用70分钟所走的路程为：

ED-CD = 60×63 - 40×7 = 3500(米)

故乙的速度为：

3500 ÷ 70=50(米/分钟)

乙比丙早出发15分钟，乙走了：

15 × 50=750(米)

乙和丙的速度差：

60 - 50=10(米/分钟)

乙追上丙花费的时间为：

750 ÷ 10=75(分钟)

那么乙总共走了：

75 + 15=90(分钟)

乙走CB段(甲走AB段)，花费的时间为：

90 - 70=20(分钟)

故，AB两地的路程为：

20 × (40+50) =1800(米)

温馨总结

1.明白能够追及的条件。

2.理清追及时间和路程差及速度差之间的关系。

3.能灵活运用“追及问题”思路，分析与之类似的问题。

同类拓展

1.基础训练：甲、乙两地相距240千米，一辆快车从甲地出发，每小时行驶95千米，同时，一辆慢车从乙地出发，每小时行驶65千米。两车同向行驶，慢车在前，快车在后，经过多少小时快车追上慢车？

答案：8小时。

2.创新训练：从时针指向4点开始，再过几分，时针正好与分钟重合?

答案：240/11。

3.环形追及：如图，半径分别是 8 和 28 的两个圆盘。大圆是固定的。小圆在大圆的外面，沿“大圆”圆周按逆时针方向滚动。开始时“小圆”圆周上的 A 点与“大圆”圆周上的B点重合。当A、B 两点再次重合时， A 至少绕“小圆”圆心转动了__ 圈

(2009 年小学数学奥林匹克决赛)

答案：9圈。

4.多人追及：甲、乙、丙三人从同一地点出发，沿同一路线追赶前面的小舟，这时三人分别用5分钟、8分钟、10分钟追上小舟。已知甲每小时走36千米，乙每小时走30千米。求丙的速度？

答案：丙的速度是每小时28千米。

5.能力提高：甲、乙二人进行游泳追逐赛，规定两人分别从游泳池50米泳道的两端同时开始游，直到一方追上另一方为止，追上者为胜。已知甲、乙的速度分别为1.0米／秒和0.8米／秒。问：

（1）比赛开始后多长时间甲追上乙？

（2）甲追上乙时两人共迎面相遇了几次？

（3）比赛过程中,两人同方向游了多长时间?

答案：250秒、4次、125秒

6.超前思考：公元前5世纪，芝诺发表了著名的阿基里斯悖论。

他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。

• 当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；

• 当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10，乌龟仍然前于他10米；

• 当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然前于他1米…… 

无限分割下去，芝诺认为，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它。（注：阿基里斯，是希腊神话中的英雄。）

关于上述问题，请思考下：“阿基里斯”能否追上乌龟。