北京初中数学 四点共圆（圆内接四边形）与手拉手，两个模型的联系和练习题

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今天正式的来看看，要说四点共圆是初三才有的模型，而手拉手就比较早了，初学全等就可以接触了。其实四点共圆也不是初三才见到，同样是初学全等的时候的对角互补四边形，其实就是四点共圆。手拉手也是在初三可以升级为相似的手拉手。

（点击查看：学完全等后的经典模型，八个模型）

    之所以研究他们俩的联系还要从一个模型说起，也是属于对角互补四边形系列的，初学全等时介绍的，对角互补，邻边相等，角平分线（知三推一）模型（对角互补就是四点共圆）

    这个模型的方法是做点垂线垂两边，证明全等，而且有很多引申，之前也讲过了。

    这里有个结论就是CD+CB=2CI=2CJ

    有一个引申就是当对角互补是60度和120度的时候。有很多特殊结论。如下图。AC+AD=AB（做点垂线可证）

（点击查看：几个线段倒数和模型，以及倒数和的策略）

    其实除了做点垂线之外还有一种方法就是今天要说的，四点共圆构造手拉手。

    怎么构造呢？看下面：

    这就是刚才的模型，其实换一种描述就是圆中有个等边，再来一个点连接如图。还有其他的给法。

    手拉手来了：

    显然AD+CD=DF+BF=BD感觉很简洁

不同的转法都可以（其实就是旋转的思想）

（点击查看：旋转策略，从简单到不简单）（等边思转）

那么我们变一变，把等边改成等腰，一样可以旋转手拉手：

    把定角变成特殊的度数还可能有特殊的结论。（60度上面已经试过了）

    CD+根2AD=BD

    以上都是临边相等的四点共圆。

    再改一改变成任意四点共圆，如下：

    一样可以放缩旋转，相似手拉手

    而且传说的托勒密定理就是这么构造而证明的。

    再看两道例题吧（其实都是旋转思想）

    没错你没看错，第三问的三个线段，我一度以为是打错了，其实没有。

    这个题的四点共圆的给法不太一样。第一问倒角，第二问就可以构造手拉手了，

第二问

方法一：

第二问

方法二：

    第三问方法也很多们也是构造手拉手：

第三问

方法一：

    如图显然：AB/根号2=BG=BD+DG，

    CD-BD=2FD（第二问可得）=2GD

    综上得出结论

第三问

方法二：

如图显然：BD+CD=CH=根号2AC

    这个结论是绝对正确的，但是我第一做出的却不是这个结论。我的思路是经典的数学思路：利用现有结论解决未知问题。我以经知道了AD+BD=CD这个结论。要找到AD，BD，AC的关系。只要找到AC和AD的关系即可解决这个问题。我发现三角形ADC其实是一个亚特殊三角形（就是比较特殊但是又没有等直等边这么特殊的厉害）。那么它的三边比值是固定的。这样一来我就找到了AC和AD的比值是，（根号6）:2。这样AD代换成AC就得到了结论：

    CD-BD=AD=(2AC)/根号6（就不化简了）。我得到的是一个差的结论，其实想想也没什么神奇的，45度和60度已经把这个形状限定死了，也就是，三边的长度比应该是定值。看看下面的图就很清楚了；

    结论是：

    好了看看例题2：

    直说第三问吧，就是各种转构造手拉手全等。下图：

方法一：

    很多初学者会疑问，转谁呢？凡是以等边为边的三角形都可以试试。

     如图旋转三角形BCD，EI平行CD，显然有同色全等，注意还有一对没标出来的全等三角形DCG和IEG（平行八字型（用等对边平行来判定）），

然后x+y=8,x-y=6(2DG)

方法二：

    旋转三角形CAD，EI平行CH，显然同色全等，也还是有一个平行八字全等。

三角形CHG全等EIG。x+y=8,(x+y)/2=BG ,BG=1/2AF=4

方法三：

    这次旋转三角形CGB，显然同色全等，所以BG=1/2AF=4

    其实以上的红色三角全等都是差一个角，辅助线可以得出这个角等。

（本次及以往所做动图和源文件将分享在QQ群文件）

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