北京小学奥数天天见-古典概率模型的全面解析

古典概型也叫传统概率、其定义是由法国数学家拉普拉斯 (Laplace ) 提出的。如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。

在这个模型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。古典概型是概率论中最直观和最简单的模型，概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。

本期我们一起来讨论下古典概型相关的概率问题。

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难易指数：★★★★

适宜对象：小学培优、初中

本期编号：D00057

关键词：古典概型、概率问题

古典概型

【基本计算公式】

如果一次实验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是

；如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为：

P(A) = 

其中，m为A包含的基本事件的个数；n为基本事件的总数。

【示例1】

袋子中有3个白球和2个黑球，从中任意摸出一个球，是黑球的概率是多少？

解答：

设摸出的球是黑球为事件A，因为有2个黑球，所以事件A包含的个数为：2。总共有5个球，则基本事件总数为：5

故这个球是黑球的概率为：

P(A) = 2/5

【加法原理和乘法原理】

在概率的计算中，有两个原理，分别是：加法原理和乘法原理。

加法原理就是：做一件事情，完成它有n类方式，第一类方式有m1种方法，第二类方式有m2种方法，……，第n类方式有mn种方法，那么完成这件事情共有m1+m2+……+mn种方法。

乘法原理就是：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有m2不同的方法，……，做第n步有mn不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1m2m3…mn 种不同的方法。

【示例2】

袋子中有3个白球和2个黑球，从中任意摸出2个球，只有一个黑球的概率是多少？

解答：

摸出的2个球，有两种情况：

• 第一个是黑球，第二个是白球，设为事件A

• 第一个是白球，第二个是黑球，设为事件B

每一种情况，都可以分为两个步骤，先摸第一个，再摸第二个。于是根据乘法原理有：

P(A) = (2/5)×(3/4) = 3/10

P(B) = (3/5)×(2/4) = 3/10

最后根据加法原理知，只有一个黑球的概率为：

P(A) + P(B) = 6/10

【对立事件】

若A交B为不可能事件，A并B为必然事件，那么称A事件与事件B互为对立事件，其含义是：事件A和事件B必有一个且仅有一个发生。

用数学语言表示即为：若

，则称事件A与事件B互为逆事件。又称事件A与事件B互为对立事件。即在每一次试验中，事件A与事件B中必有一个发生，且仅有一个发生。A的对立事件记为

 。

对立事件概率之间的关系：P(A)+P(B)=1。例如，在掷骰子试验中，A={出现的点数为偶数}，b={出现的点数为奇数}，A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，所以A与B互为对立事件。

【示例3】

袋子中有3个白球和2个黑球，从中任意摸出2个球，至少有一个黑球的概率是多少？

解答：

根据题意，我们可以设两个球都是白球为事件A，那么根据乘法原理，事件A的概率为：

P(A)=3/5×2/4=3/10

根据对立事件的概率原理知，至少有一个黑球的事件概率为：

1-P(

) = 1-3/10 = 7/10

【事件的加法和减法】

减法公式：对任意的两个事件A、B，有:

P(A-B)=P(A)-P(AB)

加法公式：对任意的两个事件A、B，有：

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

对任意的三个事件A、B、C，有：

P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-p(BC)+P(ABC)

【示例4】

Mrs Sanders has three grandchildren, who call her regularly. One calls her every three days, one calls her every four days, and one calls her every five days. All three called her on December 31, 2016. On how many days during the next year did she not receive a phone call from any of her grandchildren?（2017 AMC8）

(A)78  (B)80  (C)144  (D)146  (E)152

解答：

原题意为：桑德斯太太有三个孙子，他们定期给她打电话。分别是：每三天打一个电话给她，每四天打一个电话给她，每五天打一个电话给她。假设三人都在2016年12月31日打电话给她。在接下来的一年中，她有多少天没有接到任何孙子的电话？

这一年中孙子打电话给她打电话的天数为p，则有：

p1=[365/3]+[365/4]+[365/5] 

p2=[365/12]+[365/15]+[365/20]

p3=[365/60]

p = p1 - p2 + p3 = 219(天)

没有打电话的时间为：

365-219=146(天)，因此选D。

【温馨总结】

1.理解古典概型的概念，理解其需要满足的条件：等可能性和有限性。

2.对于结果有无限种可能的概率计算问题，不能把它当作古典概型来处理。这个时候可能要用到“几何概型”。

3.重点掌握怎么运用加法原理及乘法原理，计算概率问题。

【习题】

1.基础训练：某人有5把钥匙，一把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把于是，他逐把不重复地试开，问：

（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？

（2）三次内打开的概率是多少？

（3）如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？

答案：1/5；3/5；9/10。

2.能力提高：把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），计算：(1)无空盒的概率；(2)恰有一个空盒的概率。

答案：3/32；9/16。