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圆的进阶模型

    本文介绍的是圆的进阶模型，不同于之前的基础模型

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圆，十大基础性质策略

01:圆的第一定义与轨迹

    根据圆的第一定义，该动点轨迹为直线，圆的第一定义即：一中同长

《墨子，经上》中说：圆，一中同长也。清朝陈澧 《东塾读书记·诸子》解释道：“《几何原本》云：‘圜之中处一圜心，一圜惟一心，无二心，圜界至中心作直线俱等。’即此所谓‘一中同长’也。

当然这题任何图形为背景都不影响结论：

02：圆的第二定义与轨迹

    第二定义听过的人就不如第一定义多了，也叫做阿波罗尼斯圆，到两个定点的距离比为定值（不为1）的点的轨迹是圆。为啥不能比值为1呢？你说呢？比为1是啥？

    为了展示阿氏圆的形成，我用ggb软件做了如下两个动圆：

    保证两动圆的半径比为定值：

    这样即可形成阿氏圆，缩小一点看到的会更全！

    当然，如果半径比值为1，结果不言而喻：

    也可以在另一边形成阿氏圆：

    阿氏圆与相似有着密不可分的关系，所以我们会在相似模型中再进行更加详细的介绍。

03：圆的第三种生成方式

    除了以上的两种定义，圆还有很多种产生的方式：如

    当然我们初中阶段只需要了解其特殊情况，即：

证明略：

04：四点共圆

    四点共圆，是许多教科书上没有明确点破，但是在应用上非常广泛的一个做题技巧，当然虽然没有明确点破，但是还是能在书上看到些许的影子，四点共圆可大致分为两类：

 1、同侧等角：

    同线段的同侧等角顶点和线段两段点共圆，其实这就是书上圆周角定理的逆命题啊！这个结论也叫定弦定角，应用颇多

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2018河南22题，破解手拉手，定弦定角轨迹

定底定角，线段长问题，斜大于直，轨迹思想

2、异侧互补角

同侧角相等共圆，异侧角互补共圆：

    这个结论可以看做，圆内接四边形性质的逆命题。

05：圆中平分线

06：圆与等腰

07：弦切角定理

    这也是一个教科书上少有提及的定理，但是考圆的时候还总考！

因为圆周角的灵活性，可以放在特殊位置证明：

（圆周角的灵活性往往也是解决圆中问题的核心）

也可以用相似证明，介于有的教材相似在圆后面

08：圆内角和圆外角

    这两个概念都是相对于圆周角产生的！

由外角定理易证得结论，而且还有意外收获如下：

弧的度数的概念：用弧表示角（弧角一体）

 在这补充，在圆中因为圆心角与弧的一一对应性，我们可以用弧表示圆心角（弧度制）（即用弧的长度表示角的大小），也可以用圆心角表示弧（下图用法）（即用角的度数表示弧的长短（同圆中），比如半圆就是180度，四分之一圆就是90度）

09：米勒问题

显然是一个叫“米勒”的先提出的

解决这个问题就是应用08中的圆周角与圆外角的大小关系：

做切圆，则其他角都为圆外角，只有切点处为圆周角。

10：古堡朝拜问题

又是传说？

本问题初中无法一般性解决，但是其结论可证明

遵循等角原理，即如下角相等是取最小值：

证明等角原理的正确性：

引用了将军饮马结论

11：圆幂定理

    这也是和圆中相似密切相关的，也就是反八字形（蝴蝶相似），反A型相似，子母相似，飞镖型相似的结论有关。

E为平面任意一点，过E做直线与圆相交：

E为内点：

又称为相交弦定理

E为外点：

此时称为割线定理

EB相切：

此时称为切割线定理

12：折弦定理

本定理可以看做是垂径定理的一种引申

    垂径定理的诸多结论（知二推三）中有一条是，过弧中点向对应弦做垂线，交点即为该弦的中点。即：弧中点+垂直=弦中点。折弦定理即将这一性质引申到折弦上！

通过三种方法展现截长补短的魅力

方法1：

方法2：

方法3：

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