奥数天天见-三角形面积公式解析大全

三角形面积公式是指使用算式计算出三角形的面积，同一平面内，且不在同一直线的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形，符号为△。

常见的三角形按边分有等腰三角形（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）、不等腰三角形；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

本期我们就一起来看看三角形面积公式吧。

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难易指数：★★★★

适宜对象：小学培优、初中

本期编号：D00059

关键词：三角形面积公式、三角形面积问题

三角形面积公式

1.基本公式

已知三角形底a，高h，则：

2.海伦-秦九韶公式

海伦公式，已知三角形三边a、b、c，则：

其中：

。

秦九韶“三斜求积木”：

在秦九韶公式中，将海伦公式中的参数p代入后，化简就可得海伦公式。

3.正弦定理-三角形面积公式

已知三角形两边a、b，这两边夹角C，则

即：两夹边之积乘夹角的正弦值。

4.内切圆求解三角形面积

设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r，则三角形面积：

证明方法

三角形三个角的角平分线的交点为内心，容易证得：

AE=AF，CE=CD，BD=BF

根据:

SABC=SABO+SBOC+SAOC

容易证得：

5.外接圆求解三角形面积

设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R，则三角形面积：

S=abc/4R

此公式的推导可以根据正弦定理得到。

6.行列式几何意义(线性代数)

行列式形式

为三阶行列式，此三角形

，在平面直角坐标系内：

这里

选取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值。该公式的证明可以借助“两夹边之积乘夹角的正弦值”的面积公式。

注：此为高等数学-线性代数内容。

7.三角形中线面积公式

已知m、n、p分别为三角形ABC的三条中线的长度，则有：

推导过程见下文。

8.根据三角函数求面积

S▲

= absinC/2

= 2R²sinAsinBsinC

= a²sinBsinC/(2sinA)

注:其中R为外切圆半径。

9.根据向量求面积

其中，(x1,y1,z1)与(x2,y2,z2)分别为向量AB与AC在空间直角坐标系下的坐标表达，即：向量邻边构成三角形面积等于向量邻边构成平行四边形面积的一半。

同类拓展

1.已知△ABC，三条中线AD、BE、CF，其中AD=9，CF=12，BE=15，求△ABC的面积。

答案：72

2.In the non-convex quadrilateral ABCD shown below, ∠BCD is a right angle, AB=12, BC=4, CD=3, and AD=13.

What is the area of quadrilateral ABCD?（2017 AMC8）

(A)12  (B)24  (C)26  (D)30  (E)36

答案：(B)

3.下图中有21个点，其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，试计算三角形ABC的面积。

答案：10

附1：海伦-秦九韶公式推导

附2：三角形中线面积公式推导