北京小学奥数天天见-繁分数的化简之奥数举一反三

繁分数(complex fraction)是一类特殊的分数，其分数形式中，分子或分母含有四则运算或分数，或分子与分母都含有四则运算或分数的数。

繁分数可以化成简分数表示。简分数(simple fraction)是分子和分母均为整数的分数，即在分数形式中，分子与分母都不含有四则运算且都不含分数的数。

本期我们讲解繁分数的化简需要注意的事项。

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难易指数：★★★★

适宜对象：小学培优

本期编号：D00063

关键词：繁分数、简分数

繁分数与连分数

（一）定义

1、繁分数是数，而不是除法式子，一个有意义的除法算式应包括定义范围内的被除数、除数和除号，它是一种运算表达形式。只有通过运算后，才能得出一个商数来，所以除法算式和一个数是两回事。

2、如分数形式，分子或分母含有分数，或分子与分母都含有分数的数，叫做繁分数。在一个繁分数里，最长的分数线叫做繁分数的主分数线，主分数线上下不管有多少个数或运算，都把它们分别看作是繁分数的分子和分母。

（二）化简繁分数

把繁分数化为最简分数或整数的过程，叫做繁分数的化简。繁分数的化简一般采用以下四种方法： 

1、扩倍数

繁分数化简的另一种方法是：根据分数的基本性质，经繁分数的分子部分和分母部分同时扩大相同的倍数，从而去掉分子部分和分母部分的分母，然后通过计算化为最简分数或整数。 

2、逐步法

繁分数的化简一般由下至上，由左到右，逐次进行化简。

可以把分子部分和分母部分都统一成小数后，进行约分，中间约分时，把小数看成整数，但要注意小数点不要点错位置。

也可以根据分数的基本性质，把繁分数的分子部分和分母部分都变成整数连乘，然后交叉约分算出结果来。

3、拆分法

利用整数的运算性质进行化简，通常可用拆分法或找规律法。 

4、倒数法

利用分数倒数的性质：

（三）示例讲解1、计算：

（北京市第三届“迎春杯”数学竞赛）

解：采用逐步法，自下而上进行计算

2、已知：

则x等于多少？

（1999年全国数学奥林匹克决赛）

【解法一】

采用逐步法，自下而上化简

解此方程，可得x=1.25

【解法二】

倒数法，利用倒数的性质有：

于是：

所以：

从而可以解出x=1.25

3、化简下述分数：

我们可以把2002×2003拆分如下：

2001×2003+2003

然后再进行计算。

解：原式

4、化简下述分式：

此题可先用拆分法，把分子算出来，得36，再拆分成6×6。

然后对于分母较大的数，可找规律：

1×1=1

11×11=121

111×111=12321

……

n个1情况：

1…1×1…1=123…(n-1) n (n-1)……321

所以这里的分母：

666666×666666

=(111111×6)×(111111×6)

=(111111×111111)×(6×6)

解：原式

（四）同类拓展

1、化简：(北京市第一届迎春杯竞赛试题)

答案：2

2、计算：(第一届“华罗庚金杯”数学邀请赛)

答案：

3、计算：（第三届华杯赛复赛）

答案：

4、计算：（第三届华杯赛复赛）

答案：1

5、计算：

答案：0.6

6、计算：

答案：43/114

7、计算

答案：102/2009

8、计算：

答案：191/384

提示，除第一项(1/2)外，通项公式为：

上述n=7。

9、计算

答案：257/768

提示，除第一项(1/2)外，通项公式为：

上述n=8。